Strassen算法中选择矩阵的背后有更大的图景

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在Strassen算法中，要计算两个矩阵和的乘积，将矩阵和划分为块矩阵，并且该算法以递归方式计算块矩阵矩阵乘积，而不是朴素的块矩阵-基质的产品，即，如果我们想，其中 $\mathbf{A}$ $\mathbf{B}$ $\mathbf{A}$ $\mathbf{B}$ $2 \times 2$ $7$ $8$ $\mathbf{C}=\mathbf{A} \mathbf{B}$ 然后，我们有

一种 = [\begin{matrix} {一种}_{1个 ， 1个} & {一种}_{1个 ， 2} \\ {一种}_{2 ， 1个} & {一种}_{2 ， 2} \end{matrix}] ， 乙 = [\begin{matrix} 乙_{1个 ， 1个} & 乙_{1个 ， 2} \\ 乙_{2 ， 1个} & 乙_{2 ， 2} \end{matrix}] ， C = [\begin{matrix} C_{1个 ， 1个} & C_{1个 ， 2} \\ C_{2 ， 1个} & C_{2 ， 2} \end{matrix}]

$\mathbf{A} =\begin{bmatrix} \mathbf{A}_{1,1} & \mathbf{A}_{1,2} \\ \mathbf{A}_{2,1} & \mathbf{A}_{2,2} \end{bmatrix} \mbox { , } \mathbf{B} = \begin{bmatrix} \mathbf{B}_{1,1} & \mathbf{B}_{1,2} \\ \mathbf{B}_{2,1} & \mathbf{B}_{2,2} \end{bmatrix} \mbox { , } \mathbf{C} = \begin{bmatrix} \mathbf{C}_{1,1} & \mathbf{C}_{1,2} \\ \mathbf{C}_{2,1} & \mathbf{C}_{2,2} \end{bmatrix}$

这需要

个乘法。相反在Strassen的，我们计算

C_{1个 ， 1个} = {一种}_{1个 ， 1个} 乙_{1个 ， 1个} + {一种}_{1个 ， 2} 乙_{2 ， 1个} C_{1个 ， 2} = {一种}_{1个 ， 1个} 乙_{1个 ， 2} + {一种}_{1个 ， 2} 乙_{2 ， 2} C_{2 ， 1个} = {一种}_{2 ， 1个} 乙_{1个 ， 1个} + {一种}_{2 ， 2} 乙_{2 ， 1个} C_{2 ， 2} = {一种}_{2 ， 1个} 乙_{1个 ， 2} + {一种}_{2 ， 2} 乙_{2 ， 2}

$\mathbf{C}_{1,1} = \mathbf{A}_{1,1} \mathbf{B}_{1,1} + \mathbf{A}_{1,2} \mathbf{B}_{2,1}\\ \mathbf{C}_{1,2} = \mathbf{A}_{1,1} \mathbf{B}_{1,2} + \mathbf{A}_{1,2} \mathbf{B}_{2,2}\\ \mathbf{C}_{2,1} = \mathbf{A}_{2,1} \mathbf{B}_{1,1} + \mathbf{A}_{2,2} \mathbf{B}_{2,1}\\ \mathbf{C}_{2,2} = \mathbf{A}_{2,1} \mathbf{B}_{1,2} + \mathbf{A}_{2,2} \mathbf{B}_{2,2}$

8

$8$

，将获得

的使用

的作为

{中号}_{1个} ：= （ {一种}_{1个 ， 1个} + {一种}_{2 ， 2} ） （ 乙_{1个 ， 1个} + 乙_{2 ， 2} ） {中号}_{2} ：= （ {一种}_{2 ， 1个} + {一种}_{2 ， 2} ） 乙_{1个 ， 1个} {中号}_{3} ：= {一种}_{1个 ， 1个} （ 乙_{1个 ， 2} - 乙_{2 ， 2} ） {中号}_{4} ：= {一种}_{2 ， 2} （ 乙_{2 ， 1个} - 乙_{1个 ， 1个} ） {中号}_{5} ：= （ {一种}_{1个 ， 1个} + {一种}_{1个 ， 2} ） 乙_{2 ， 2} {中号}_{6} ：= （ {一种}_{2 ， 1个} - {一种}_{1个 ， 1个} ） （ 乙_{1个 ， 1个} + 乙_{1个 ， 2} ） {中号}_{7} ：= （ {一种}_{1个 ， 2} - {一种}_{2 ， 2} ） （ 乙_{2 ， 1个} + 乙_{2 ， 2} ）

$\mathbf{M}_{1} := (\mathbf{A}_{1,1} + \mathbf{A}_{2,2}) (\mathbf{B}_{1,1} + \mathbf{B}_{2,2})\\ \mathbf{M}_{2} := (\mathbf{A}_{2,1} + \mathbf{A}_{2,2}) \mathbf{B}_{1,1}\\ \mathbf{M}_{3} := \mathbf{A}_{1,1} (\mathbf{B}_{1,2} - \mathbf{B}_{2,2})\\ \mathbf{M}_{4} := \mathbf{A}_{2,2} (\mathbf{B}_{2,1} - \mathbf{B}_{1,1})\\ \mathbf{M}_{5} := (\mathbf{A}_{1,1} + \mathbf{A}_{1,2}) \mathbf{B}_{2,2}\\ \mathbf{M}_{6} := (\mathbf{A}_{2,1} - \mathbf{A}_{1,1}) (\mathbf{B}_{1,1} + \mathbf{B}_{1,2})\\ \mathbf{M}_{7} := (\mathbf{A}_{1,2} - \mathbf{A}_{2,2}) (\mathbf{B}_{2,1} + \mathbf{B}_{2,2})$

C_{i, j}

$\mathbf{C}_{i,j}$

M_{k}

$\mathbf{M}_{k}$

C_{1个 ， 1个} = {中号}_{1个} + {中号}_{4} - {中号}_{5} + {中号}_{7} C_{1个 ， 2} = {中号}_{3} + {中号}_{5} C_{2 ， 1个} = {中号}_{2} + {中号}_{4} C_{2 ， 2} = {中号}_{1个} - {中号}_{2} + {中号}_{3} + {中号}_{6}

$\mathbf{C}_{1,1} = \mathbf{M}_{1} + \mathbf{M}_{4} - \mathbf{M}_{5} + \mathbf{M}_{7}\\ \mathbf{C}_{1,2} = \mathbf{M}_{3} + \mathbf{M}_{5}\\ \mathbf{C}_{2,1} = \mathbf{M}_{2} + \mathbf{M}_{4}\\ \mathbf{C}_{2,2} = \mathbf{M}_{1} - \mathbf{M}_{2} + \mathbf{M}_{3} + \mathbf{M}_{6}$

M_{k}

$\mathbf{M}_k$

A

$\mathbf{A}$

B

$\mathbf{B}$

M_{k}

$\mathbf{M}_k$

A_{i, j}

$\mathbf{A}_{i,j}$

B_{i, j}

$\mathbf{B}_{i,j}$

M_{2} := (A_{2, 1} + A_{2, 2}) B_{1, 1}

$\mathbf{M}_2: = (\mathbf{A}_{2,1}+\mathbf{A}_{2,2})\mathbf{B}_{1,1}$

A_{1, 1} (B_{1, 2} + B_{2, 2})

$\mathbf{A}_{1,1} (\mathbf{B}_{1,2} + \mathbf{B}_{2,2})$ 也要计算。但是，并非如此，因为它可以从其他地方获得

M_{k}

$\mathbf{M}_k$ 的。

如果有人可以对此有所启发，我将不胜感激。

— 社区
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De Groote（关于双线性映射计算的最佳算法的种类。II。2x2矩阵乘法的最佳算法。Theor。Comput。Sci。7：127-148，1978）证明只有一种算法可以乘法 $2 \times 2$ -具有7个乘法的矩阵，直到等价。这可能是 $2 \times 2$ -矩阵乘法。（注意：您会在文献中找到Strassen算法的不同变体。它们都等同于正确的等价概念。）

如果您现在开始证明下界 $2 \times 2$ -矩阵乘法-参见Bürgisser，Clausen和Shokrollahi的书如何做到这一点-然后Strassen的算法或某些变体自然出现。您会发现许多确定产品外观的身份。然后，您可以通过一些猜测来完成。（De Groote的证明表明，甚至没有必要进行猜测。）

Schönhage曾经告诉我Strassen曾经告诉他，他通过尝试证明下界以这种方式找到了自己的算法。

— 马库斯·布拉泽（MarkusBläser）
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Bürgisser，Clausen和Shokrollahi撰写的《代数复杂性理论》一书中有某种解释（第11-12页）。这个想法是从两个基础开始 $A_0,A_1,A_2,A_3$ 和 $B_0,B_1,B_2,B_3$ 的空间 $2\times 2$ 满足以下属性的实数矩阵： $A_iB_j \in \{0,A_0,A_1,A_2,A_3,B_0,B_1,B_2,B_3\}$ 。此外， $A_0 = B_0$ 。乘以两个矩阵 $A$ 和 $B$ ，在相应的基础上分别代表它们，并评估产品。由于结果中仅出现七个不同的非零矩阵（ $A_0=B_0,A_1,A_2,A_3,B_1,B_2,B_3$ ），只需要七个产品。的 $M$ 矩阵就是这些基础。

我不知道Strassen是否提出了这种研究方式。考虑到快速矩阵乘法算法所基于的其他身份，尚不清楚是否有任何深层次的事情发生，而不是某些公式正在制定中。我们之前曾经历过-拉格朗日使用四平方恒等式（之前已知）证明四平方定理。起初它一定只是一个好奇的代数恒等式，但是现在我们知道它陈述了四元数范数的可乘性。考虑到当前的知识状态，很难判断上述解释是否具有生产力。

— Yuval Filmus
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3

这样的基数称为M对，请参见Bürgisser，Clausen和Shokrollahi在书中有关最小秩的代数的章节。我认为在不知道Alder-Strassen定理的情况下很难提出M对的想法（再次参见上本书）。尤其是，

2 \times 2

$2\times 2$ -矩阵是存在M对的唯一矩阵代数。

— MarkusBläser2013年