高斯复杂度的下界

定义高斯复杂的的矩阵是需要使矩阵成上三角形式的基本的行和列操作的最小数量。这是一个介于和之间的量（通过高斯消除）。这个概念在任何领域都有意义。 $n \times n$ $0$ $n^2$

这个问题似乎很基础，必须进行研究。令人惊讶的是，我没有任何参考。因此，我会很高兴有任何参考。但是，当然，主要问题是：

是否有任何不平凡的显式下界？

非平凡的意思是超线性。只需清楚一点：在有限域上，一个计数参数表明随机矩阵的复杂度为n ^ 2（在无限域上，类似的主张也应成立）。因此，我们正在寻找的是显式矩阵族，例如Hadmard矩阵。这与布尔电路复杂度相同，我们知道随机函数具有很高的复杂度，但是我们正在寻找具有此属性的显式函数。

cc.complexity-theory lower-bounds matrices

— 莫里兹
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我不完全确定这里的问题是什么。您是在问矩阵的特定形式还是一般情况（在这种情况下，简单的计数参数似乎有用）？

— Joe Fitzsimons 2010年

如前所述，@ Joe正在要求一个明确的矩阵族，例如Hadamard矩阵。像往常一样，随机矩阵在作弊。这与我们对随机函数需要大型电路这一事实感到不满意的方式大致相同。我添加了一段来强调这一点。

— 莫里茨2010年

也许应该将其重新发布作为答案:)

— Suresh Venkat 2010年

好的，会这样做。

— Joe Fitzsimons 2010年

实际上，我相信我的方法可能存在缺陷。

— Joe Fitzsimons 2010年

Answers:

这似乎是一个非常棘手的问题，与被广泛研究的问题有关。

假设我们考虑平方可逆矩阵A，并将c（A）定义为将A简化为单位矩阵所需的基本行运算的最小数量。这种复杂性测度比莫里茨（Moritz）提出的测度大，因此证明超线性边界只会更容易。

现在，行操作是可逆的。因此，可以将c（A）等效地定义为从单位矩阵开始产生 A 所需的最小行操作数。

请注意，以这种方式产生A会产生运算电路，以计算将x转换为Ax的映射。每个门的扇入为2，非输入门的数量对应于行操作的数量。

反向（从电路到行运算序列）没有明显减少。仍然，我们可以根据受限电路模型中Ax的运算电路复杂度来表征c（A）：我声称c（A）等于A的运算电路中最小边沿数量的一半，即扇动最大为2，宽度为 n，我们不对通向扇动1栅极的边缘收取费用。（我在这里使用的是电路宽度的通常概念。）这可以使用之前勾勒出的简单思想来说明。

现在，这是与经过充分研究的问题的联系：30多年来，一个显着的线性映射Ax（在任何有限域上）一直是一个著名的开放问题，而该线性映射Ax需要在fanin-2电路中具有超线性门数。经典参考是Valiant，“低级复杂度中的图论论证”，Lokam最近进行的FTTCS调查也很有帮助。

在研究c（A）时，我们施加了一个附加的宽度限制，但是由于我们的限制太弱了（宽度n），所以我认为问题不会变得容易得多。但是，嘿-我很想证明自己是错的。

— 安迪·德鲁克（Andy Drucker）
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另外，高尔斯在他的博客上进行了涉及高斯消去复杂性的讨论。我没有仔细（很长对话的形式）读它，但它可能会有所帮助： gowers.wordpress.com/2009/11/03/...

— 安迪·德鲁克

只是为了正确理解这一点，出现了宽度限制，因为每列最多有n个操作，并且可以逐列进行？

— 莫里兹

我在考虑行操作。宽度n限制对应于以下事实：我们有n行要用于所有中间工作。深度为t的n个电路门代表经过t次行操作后的n行状态。（也许您在跟我说同样的话）

— Andy Drucker 2010年

如果我们改为在高斯消去法中允许额外的“辅助工作区”行，我相信我们会得到将A简化为恒等式的复杂度与Ax的线性算术电路复杂度（实际上是算术ckt复杂度）之间的确切对应关系。乘法不能帮助计算超出常数因子的线性函数）。

— 安迪·德鲁克

是的，这就是我的意思。我也同意第二句话。通用线性电路可以随时创建新行：-)

— Moritz 2010年

有参考，并且它们已经很老了。我在研究布尔矩阵乘法的组合算法时遇到了它们。

$\Theta(n^2/log n)$ $\log n$

JW Moon和L. Moser。矩阵约简问题。计算数学20（94）：328-330，1966年。

该文章应该可以在JSTOR上访问。

我非常确定下界只是一个计数参数，并且没有给出达到下界的显式矩阵。

— 瑞安·威廉姆斯（Ryan Williams）
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