具有良好表征但没有多项式时间算法的优化问题

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考虑以下形式的优化问题。令是多项式时间可计算函数，它将字符串映射为有理数。优化的问题是：什么是最大值超过位串？ $f(x)$ $x$ $f(x)$ $n$ $x$

让我们说，如果存在另一个多项式时间可计算函数，则这样的问题具有minimax特征，从而成立。在此，在所有位字符串上运行，在所有位字符串上运行；和可能不同，但是它们在多项式上相关。 $g$

max_{x} f (x) = min_{y} g (y)

$\max_x f(x) = \min_y g(y)$

x

$x$

n

$n$

y

$y$

m

$m$

n

$n$

m

$m$

许多自然和重要的优化问题都具有这种minimax特征。一些示例（括号中显示了表征所基于的定理）：

线性规划（LP对偶Thm）， 最大流 （最大流Min Cut Thm）， 最大二分匹配 （Konig-Hall Thm）， 最大非二分匹配 （Tutte's Thm，Tutte-Berge公式）， 最大不交集树状有向图 （埃德蒙（Edmond）的不相交分支Thm），无向图中的最大生成树 堆积（Tutte's Tree Packing Thm）， 最小森林 覆盖率（Nash-Williams Thm）， 最大定向 切块堆积（Lucchesi-Younger Thm）， 最大2螺旋交叉 （Matroid交叉） Thm）， 最大不相交路径 （Menger的Thm）， 部分订制集（Dilworth Thm）中的Max Antichain 和许多其他产品。

在所有这些示例中，还可以使用多项式时间算法来找到最佳值。我的问题：

是否存在关于minimax特征的优化问题，迄今为止尚未找到多项式时间算法？

注意：线性编程处于这种状态大约30年了！

— 安德拉斯·法拉戈（Andras Farago）
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从某种技术上讲，您是在问。假设，因此存在和因此 iff和 Liff。这可以被改写为通过最小最大表征，如果和否则; 如果和否则。现在确实有。 $P = NP \cap coNP$ $L \in NP \cap coNP$ $F$ $G$ $x \in L$ $\exists y: F(x,y)$ $x \not\in L$ $\exists y: G(x,y)$ $f_x(y) = 1$ $F(x,y)$ $f_x(y) = 0$ $g_x(y) = 0$ $G(x,y)$ $g_x(y) = 1$ $max_y f_x(y) = min_y g_x(y)$

因此，从这个意义上讲，任何已知在但不已知在都可以变成您问题的答案。例如，因子分解（例如，最大因子的第位是否为1 的决策版本）。 $NP \cap coNP$ $P$ $i$

— 诺姆
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我的印象是，有些人甚至走得更远，采取作为定义 “好定性”的。

N P \cap c o N P

$\mathsf{NP} \cap \mathsf{coNP}$

— 约书亚·格罗夫

而对于这样的问题的列表，请参阅mathoverflow.net/questions/31821/...

— 拉胡尔·萨维尼

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Seymour和Thomas显示了树宽的最小-最大特征。然而，树的宽度很困难。但是，这并不是您所要求的那种表征，因为对偶函数不是短证书的多项式时间可计算函数。对于NP完全问题，这很可能是不可避免的，因为否则我们在coNP中将遇到NP完全问题，这意味着NP = coNP崩溃，我认为这很令人震惊。 $g$

该树宽的曲线图的等于树分解的最小最小宽度。的曲线图的树分解是树使得每个顶点的由一组标记的顶点的与属性： $G$ $G$ $G$ $T$ $x$ $T$ $S(x)$ $G$

对于所有，。 $x \in V(T)$ $|S(x)| \leq k+1$
所有并集是的顶点集。 $S(x)$ $G$
对于每一个，的子图诱导所有为其中连接。 $u \in V(G)$ $T$ $x$ $u \in S(x)$
每条边是一些的子集用于。 $(u, v) \in E(G)$ $S(x)$ $x \in V(T)$

西摩和Thomas显示，树宽等于荆棘数的：最大使得存在的连接子图的集合使得： $G$ $k$ $G$

每两个子图相交或通过边连接。
没有一组的顶点命中所有子图。 $k$ $G$

这样的子图集合称为阶荆棘 $k$

请注意，“荆棘数目至少为 ”是一个语句，两个量词都以指数大的形式存在。因此，这并不意味着容易验证证书（如果有证书的确是个大新闻，正如我上文所述）。更糟的是，Grohe和Marx指出，对于每个都有一个树宽的图，使得任何阶数至少为荆棘都必须包含成倍数量的子图。他们还表明存在多项式大小为的荆棘。 $k$ $\exists\forall$ $k$ $k$ $k^{1/2 + \epsilon}$ $k^{1/2}/O(\log^2 k)$

— 萨肖·尼科洛夫（Sasho Nikolov）
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1

谢谢，这是一个很好的例子，即使它不在我要寻找的类别中。有趣的是，关于树宽的最小-最大定理于1993年发布，当时树宽的NP完全性是已知的。因此，该结果可能是推测NP = coNP的原因。虽然荆棘大小的指数下限最终使它失去了担任该角色的资格，但此下界仅在16年后发布。

— Andras Farago 2014年

安德拉斯（Andras）当时还知道击球通常是NP难度的（这是Karp的21个问题之一）。因此，即使使用多项式大小的荆棘，计算阶数也不容易，除非您可以某种方式使用荆棘的结构。有趣的是，荆棘的大小并未得到更早的研究。

— 萨绍·尼科洛夫

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奇偶校验游戏，均值支付游戏，折扣游戏和简单随机游戏属于此类别。

所有这些都是在图表上进行的无限制的两人零和游戏，玩家控制顶点并选择下一步应该放令牌的地方。每个人在无记忆的位置策略上都有平衡点，这意味着每个玩家都可以确定性地在每个选择顶点选择一条边，而与比赛历史无关。在给定一个玩家策略的情况下，可以在多项式时间内计算出另一个玩家的最佳响应，并且您需要的最小-最大关系适用于游戏的“价值”。

这些问题的自然决策变量在NP和co-NP中（实际上是UP和co-UP），而功能问题则是寻找平衡，位于PLS和PPAD中。

运行时间最著名的算法是次指数的，但是是超多项式的（例如，其中是游戏图中顶点的数量）。 $O(n^\sqrt{n})$ $n$

参见，例如

戴维·约翰逊（David S.Johnson）。2007。NP完整性列：在大海捞针中寻找针头。ACM Trans。算法3、2，第24条（2007年5月）。DOI = 10.1145 / 1240233.1240247 http://doi.acm.org/10.1145/1240233.1240247

— 拉胡尔·萨瓦尼（Rahul Savani）
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