固定图上的派系问题

众所周知，斜率函数取一个完整的顶点图的（生成）子图，输出 iff包含一个斜率。在这种情况下变量对应于边缘的。已知（Razborov，Alon-Boppana），对于，此函数需要大小约为单调电路。 $k$ $CLIQUE(n,k)$ $G\subseteq K_n$ $n$ $K_n$ $1$ $G$ $k$ $K_n$ $3\leq k\leq n/2$ $n^k$

但是，如果我们采用一个固定图，并考虑单调布尔函数，则该函数接受顶点的子集，并在形成a的某些个顶点时输出集团。在这种情况下对应于变量的顶点的，并且函数只是标准集团功能，但仅限于跨越一个子图的固定图形。 $G\subseteq K_n$ $CLIQUE(G,k)$ $S\subseteq [n]$ $1$ $k$ $S$ $G$ $K_n$ $G$

1.是否存在顶点图，其需要大小大于单调电路？我觉得不是。 $n$ $G$ $CLIQUE(G,k)$ $n^{O(\log n)}$

2.是为曲线图的某些序列的NP-hard问题？我觉得不是。 $CLIQUE(G_n,k)$ $(G_n\colon n=1,2\ldots)$

请注意，如果都是最大集团，则可以作为阈值函数的OR来计算，其中第个函数测试。因此，如果，则整个电路具有多项式大小。但是，具有最大集团数的指数的图呢？（集团是最大的，无法向其添加任何顶点。） $C_1,\ldots,C_r$ $G$ $CLIQUE(G,k)$ $r$ $k$ $i$ $|S_a\cap C_i|\geq k$ $r=poly(n)$

对于个顶点上的特定图形，可以将 “嵌入” 到中。特别地，Bollobas和Thomason（1981）证明，如果是一个Hadamard图，其顶点是子集，并且两个顶点和相邻，当是偶数，则包含个顶点上每个图的同构副本。可以将此事实与Razborov 的下界（大约）结合起来得出以下结论： $CLIQUE(m,k)$ $CLIQUE(H,k)$ $H$ $n=2^m$ $H$ $[m]$ $u$ $v$ $|u\cap v|$ $H$ $G$ $m$ $m^k$ $CLIQUE(m,k)$ $CLIQUE(H,k)$ 需要大小约为单调电路。这里的潜在问题是，即使图 “包含” 所有顶点图，这些图也不在同一组顶点上。拉兹伯罗夫（Razborov）的论点要求正输入和负输入（斜率和完全局部图的补码）是同一组顶点上的图。此外，所有正输入（斜体）只是一个和相同的固定斜体的同构副本。 $m^k$ $H$ $m$ $k$ $(k-1)$ $k$ $k$

3.有什么想法吗？有没有人看到过考虑过这类问题？我的意思是，固定图子图的决策问题。还是说一个固定（可满足）CNF的子CNF的SAT问题（通过删除一些文字获得）？

动机：这种问题与组合优化算法的复杂性有关。但是它们本身似乎很有趣。为什么我们要寻找对所有图都有效的算法？实际上，我们通常对一张（大）图的小块（一个国家的街道网络，facebook或类似网络）的属性感兴趣。

备注1：如果图是二分图，则中所有的不等式的顶点边缘入射矩阵是完全单模的，并且可以通过线性编程解决诱导子图上的集团问题。因此，对于二部图，具有较小的电路（尽管非单调）。 $G=(L\cup R,E)$ $x_u+x_v\leq 1$ $(u,v)\not\in E$ $G$ $G$ $CLIQUE(G,k)$

备注2：在二部图的情况下，对问题1“应该”的答案确实为“否” 的指示是，随后在上的以下单调Karchmer-Wigderson游戏仅需要位通信。令为的完整二部图上最大数量的顶点。爱丽丝得到红色节点的集合，鲍勃得到蓝色节点的集合，使得。目的是在和之间找到一个非边。 $G$ $G$ $O(\log n)$ $k$ $G$ $A$ $B$ $|A|+|B|>k$ $A$ $B$

cc.complexity-theory optimization circuit-complexity

— Stasys
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更多的想法（1）似乎您可能会得到类似的结果，即定义“过滤器”函数，该函数具有与布尔值和固定值基于布尔变量的0/1值的固定图的边和“过滤器”边相同的变量数... 。？由于从边缘到顶点移动的诱导图结构，这可能会在某种程度上减少分析。（2）一个简单的关键问题已嵌入您的问题中，仅此一个值得解决。什么是具有指数最大集团的图？hadamard示例可能不够用，因为它是如此“庞大”。

— vzn 2012年

我最近研究了一种模糊的相似事物，并遇到了一个有趣的事实：“通过将图上的最大派别逐个删除直到图为空，来获得图的贪心派分解。我们最近发现，图的贪心派分解一个阶的图最多有 2/4 集团。” --mcguinness

n

$n$

n^{2} / 4

$n^2/4$

— vzn 2012年

@vzn：最后一个问题。有一个简单的构造（不记得是谁）。取个顶点不相交的“反三角形”（三个顶点之间没有边的顶点），并在任意两个反三角形的所有顶点之间放置边。这样，最大派系的数量为，并且这是最佳的（不可能再有更多）。

n / 3

$n/3$

2^{n / 3}

$2^{n/3}$

— Stasys'4

@vzn：关于McGuinness的结果。据我了解，他将所有边缘分解为少量边缘不相交的最大（大小）团。但是可能会发生这样的情况，即诱导子图的最大派系并不在任何一个之中。尽管如此，结果似乎仍在“正确的方向”上。

— Stasys'4

关于备注2：当您说要在两方中寻找集团时，您是说一个完整的二方吗？

— MassimoLauria

我们对树形分辨率证明问题进行了一些研究，即固定图是否具有大小为的集团（其中通常很小）。特别地，我们发现，对于一大类图，需要大小为反驳。 $G$ $k$ $k$ $n^{\Omega(k)}$

您可以在此链接中找到论文“ DPLL搜索过程的参数化复杂性”。

— 马西莫·劳里亚
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很好的结果！实际上，当尝试针对树状切割平面（CP）反驳（clique）问题显示相同的结果时，我的问题就出现了。对于树状派生，我们有两个（仅？）工具：（1）通信复杂性参数，以及（2）Pudlak和Impagliazzo的Player-Delayer游戏。备注2暗示（1）对于（派系）问题将（失败）。对于CP证明，是否有类似于（2）的类比？

— Stasys

我相信本文可以回答您的问题：http : //arxiv.org/abs/1204.6484

本文定义了NP困难3SAT问题的族，这样公式的结构对于每n个都是固定的，输入是公式的极性。

使用从3SAT到CLIQUE的标准归约法（每个3CNF子句定义了一组8个可能的赋值（或7个满足条件的赋值），且在不冲突的赋值之间具有边），有一个图形使得在为每个子句删除一个顶点后， NP很难找到最大的集团（甚至使用图形产品或非随机图形产品来估计其大小）

— 用户名
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在第三季度，对SAT问题的“主干”和可能的“后门”进行了一些实证研究。骨干是在每个令人满意的分配中都为真的一组文字。SAT问题的后门是一组（希望很小）变量，它们为解决问题提供了“捷径”。这两个结构可能有助于理解和（或）理解您所谓的“子CNF”或除去某些变量的CNF。除了DP之外，可以将davis putnam算法视为系统地探索CNF的许多“子CNF”来解决它。

[1] Kilby等人的可满足性的骨干和后门

— z
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