Schwartz–Zippel引理的替代证明

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我只知道Schwartz–Zippel引理的两个证明。维基百科条目中描述了第一个（更常见的）证明。第二个证据是Dana Moshkovitz发现的。

还有其他证据使用的想法大相径庭吗？

— 戴乐
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您能谈谈您的动机吗？寻找不同方向的概括？也许几何洞察力？

— Per Vognsen

我真的没有任何特别的动机。我将非常惊讶地发现，这是证明这一重要引理的仅有两种可能的方法！

— 戴乐

虽然我同意这个引理很重要，但重要引理不一定有许多不同的已知证明。因此，您的理由对我来说有点奇怪。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）2010年

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@Tsuyushi Ito：我同意你的评论，即重要引理可能没有许多已知的证据。但是我想问一下SZ Lemma是否也是如此。由于SZ是基本的，很可能它是由来自不同背景的许多人独立发现的。因此，学习不同的证明有时会启发恕我直言。再次感谢大家的好评！

— 戴乐

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这是我要进行几何证明的另一个想法。它以一种必不可少的方式使用射影几何。

让 $c \in \mathbb F^m$ 是超曲面以外的仿射点 $S$ 。以 $c$ 为中心将超曲面投影到无穷远处的超平面上；即，映射每个 $x \in S$ 到 $p(x)$ 的独特线的交点通过， $c$ 和 $x$ 与在无穷远处的超平面。在无限远点的下的原像 $p$ 都位于同一行上，因此（再次将问题缩小到1维），其中大多数 $d$ 。在无限的超平面具有基数，因此我们得到了熟悉的上限。 $|\mathbb F^{m-1}|$ $|S| \leq d\ |\mathbb F^{m-1}|$

— Per Vognsen
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美丽！只是为了强调一个关键点，这条线不包含在超曲面中，因为它穿过了曲面外的点c。

— 阿纳布

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@arnab：确实，您已经在自己的帖子中很好地指出了这一点。

— Per Vognsen 2010年

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@arnab：顺便说一句，我希望很明显我不是在说这个想法确实是“新的”。所有这些证明都有类似的味道。这可能是意料之中的。

— Per Vognsen 2010年

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@Per：是的，但是由于某种原因，我比Moshkovitz更喜欢您的说法，因为它看起来似乎更几何，而且您不必考虑领先的单项式。但是我同意，基本思想是完全相同的。

— 阿纳布

@Per：您的贡献已经很棒。是的，它们并不是真正的新事物，但是我非常喜欢您的解释。这就像对古典音乐进行了新的诠释。:-)

— 戴乐

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作为Per Vognsen回答的后续措施，Dana Moshkovitz的证明已经为一个稍弱的Schwartz-Zippel Lemma版本提供了一个非常简单的证明，我认为这足以满足大多数应用的需要。

让为非零多项式度，其中是顺序的有限域，并让是一个点，使得。有条穿过许多不同的线使它们划分 $f : \mathbb{F}^n \to \mathbb{F}$ $d$ $\mathbb{F}$ $q$ $x \in \mathbb{F}^n$ $f(x) \neq 0$ $(q^n-1)/(q-1)$ $x$ $\mathbb{F}^n-\{x\}$ 。对这些行中每条线的限制是一个阶单变量多项式，它是非零的，因为它在处非零，因此最多具有零。因此，的零的总数至多为。相比之下，Schwartz-Zippel给出了上限。 $f$ $d$ $x$ $d$ $f$ $d(q^n-1)/(q-1)$ $d q^{n-1}$

鉴于此证明很容易，我确定这是民间传说。如果没有，应该是:)如果有人可以提供参考，我将不胜感激。

— 阿纳布
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非常好！您知道她做同样的事情，只是在无穷远处有一个投影点而不是一个仿射点吗？我在原始答案中添加了一段文字，以进一步解释这种关系。

— Per Vognsen

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啊，这是一个很好的解释！谢谢！

— arnab

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Moshkovitz的证明是基于简单的几何体，但是本文对此不太清楚。这是想法：

一定程度多项式变量切出一个超曲面。超曲面和一条独立线的交点（即交点不是整条线）最多具有d个点。如果找到的方向在任何地方都与超曲面无关，则可以在该方向上通过平行线形成并计算每条线内的交点。叶理由方向的正交补，这是一个超平面同构参数化，所以超曲面点在所有的总数为至多 $d$ $m$ $\mathbb F^m$ $\mathbb F^m$ $\mathbb F^{m-1}$ $\mathbb F^m$ 。 $d\ |F|^{m-1}$

这表明其他类似的证明也可能有效。

编辑：我想谈一谈Arnab的证明与Moshkovitz的证明有何关系。他在超曲面的外侧取一个点，并考虑了穿过该点的直线。莫什科维茨考虑了一系列平行线。看起来不一样，但实际上是一样的！平行族是指通过无穷远点的线形铅笔。如果您首先进行多项式的均化并通过插入来限制无穷大超平面，则Arnab的代数将逐字应用。 $w = 0$

编辑：请参阅我的其他答案以获取新的（但并非完全无关）证明。

— 转12转
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尝试1：

您是否看过Arora / Barak的书中的引理A.36（第529页）？它几乎是半页，基于归纳法。

如果您无权阅读该书，我可以在此处进行证明。

尝试2：

关于Schwartz-Zippel Lemma的好奇历史呢？其中，它引用了DeMillo-Lipton的论文（可追溯到1977年）。还对其他几篇论文进行了命名和比较。

尝试3：

以下MathOverflow主题也可能是您感兴趣的：用于多项式身份测试的P / poly算法。

— 道斯蒂女士
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是的，我做到了。但是，这一证据与维基百科的证据实质上是相同的。

— 戴乐

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Schwartz-Zippel引理是Noga Alon和ZoltanFüredi定理的特例，如本文第4节所示：关于有限网格中多项式的零点，因此该定理的任何新证明都给出了Schwartz的新证明。 -Zippel。截至目前，我知道六种不同的证明，其中两种出现在论文中，另一些在这里引用。

Alon-Furedi定理说：

让是一个字段，让 $F$ 是有限的网格，并让是一个多项式，其不在完全消失。然后为至少元素 $A = \prod_{i=1}^n A_i \subset F^n$ $f \in F[\underline{t}] = F[t_1,\ldots,t_n]$ $A$ $f(x) \neq 0$ $\min \prod y_i$ $x \in A$ ，其中最小被在所有正整数与。 $y_i \leq \# A_i$ $\sum_{i=1}^n y_i = \sum_{i=1}^n \# A_i - \deg f$

在这种情况下，如果假设并计算出最小值（可以使用本文中提到的Bins中的Balls内容轻松完成），则在某个域（或域）上会得到Schwartz-Zippel引理。 $\deg f < \min \#A_i$

— 阿努拉格
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您可以在web.stanford.edu/~rrwill/graph-cr.pdf中查看引理2.2 吗？这就是瑞安·威廉姆斯（Ryan Williams）在我的回答下的评论的意思，从那以后，它就在我的待办事项清单上，以检查它是否可以推广到交换环。在我看来，您目前对此比我更深入，所以为什么不尝试一下呢？

— Thomas Klimpel

@ThomasKlimpel：我将修改答案。我刚开始使用CS理论stackexchange时就写了它。是的，因为{0,1} ^ n始终满足条件（D），引理2.2可以在任意交换环上工作。

— Anurag 2015年

任意交换环

子集

S

$S$

R

$R$ 是满足条件（d）表示，如果对所有

，

不是零除数。A“网格”

据说如果所有满足该条件

的满足他们。Schwartz-Zippel和其他相关结果如本文所示在这些概括下起作用。

x \neq y \in S

$x \neq y \in S$

x - y

$x - y$

A_{1} \times \dots \times A_{n} \subseteq R^{n}

$A_1 \times \dots \times A_n \subseteq R^n$

A_{i}

$A_i$

— Anurag 2015年

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Schwartz-Zippel引理的原始公式仅适用于以下领域：

引理（Schwartz，Zippel）。
让 $P\in F[x_1,x_2,\ldots,x_n]$ 是非零多项式总程度的以上的字段，。令为的有限子集，令随机独立地和随机选择。则 $d \geq 0$ $F$ $S$ $F$ $r_1, r_2, \dots, r_n$ $S$
$\Pr[P(r_1,r_2,\ldots,r_n)=0]\leq\frac{d}{|S|}.$

可以重新制定引理，使其对任意交换环都有意义：

引理（耶扎贝克）。
让是非零多项式总度和让 $P\in R[x_1,x_2,\ldots,x_n]$ 在交换环，。让是一个有限子集，与 $d \geq 0$ $R$ $S$ $R$ $\forall s, t\in S:((\exists u\in R:(u\neq 0\land su=tu))\Rightarrow s=t)$ 被随机独立地且均匀地选自。然后 $r_1, r_2, \dots, r_n$ $S$
$\Pr[P(r_1,r_2,\ldots,r_n)=0]\leq\frac{d}{|S|}.$

维基百科的证明的优点在于，它可以概括地表明重新制定适用于任意交换环，这在EmilJeřábek的研究中已经得到了证明和解决。

通过证明一般可交换环的重新公式化，并作为推论获得了场的正常公式，这为Schwartz-Zippel引理提供了另一种证明。

— 托马斯·克里姆佩尔
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多项式是交换环的自由代数，即相对于交换环公理的加法，加法逆，乘法和常数生成的自由代数。最初的希望是找到关于自由代数的Schwartz-Zippel引理的推广，该引理还包含（相对于）可交换正则环公理的（广义）乘法逆。另请参见Jan A. Bergstra的作品。

— Thomas Klimpel

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在SODA'15与Virginia，Josh Wang和Yuhuacheng的论文中，该观测的另一种形式具有较少的假设和较弱的误差范围，并以受限形式（仅针对

表示）应用：“查找四个节点子图在三角时间” ...

Z_{m}

$Z_m$

— Ryan Williams

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@RyanWilliams Anurag Bishnoi在最近的答案中引用的《有限网格中多项式的零点》一文概括了上述引理，Alon-Furedi定理和该SODA'15论文中的引理2.2（并证明了边界的清晰度）。自从您发表评论以来，就一直在我的待办事项清单上找到这样的概括，因此从我的角度来看，这是一项重大成就（因此可以向作者表示祝贺）。

— Thomas Klimpel