四边数据结构（Delaunay / Voronoi）

计算几何体或代数学家有2个问题：

我才刚刚开始涉足计算几何，我爱它=）

为了实现Delaunay三角剖分算法，我正在尝试阅读Guibas和Stolfi的著名文章“操纵一般细分和计算Voronoi图的原语”。我很想跳过所有理论上的内容，而只是阅读它们的四边数据结构的描述以节省时间。但是，如果结构被广泛使用，或者仅仅因为它很漂亮，我认为理解本文中的所有数学也许是值得的。

数学对我来说有点困难。我并不完全了解拓扑，但是对它们的边缘代数的描述需要我没有的抽象代数知识。

我的两个问题是：除了计算Delaunay / Voronoi之外，四边结构还有哪些其他应用？它似乎是一个非常强大的工具。

第二个问题；什么是抽象代数？如果您能给我参考抽象代数的介绍，那就太好了，这样我就可以理解它们的边缘代数部分。

谢谢！

我认为Guibas和Stolfi的“边缘代数”形式主义有点不必要。

真正需要做的就是记住原始图和对偶图之间的区别。原始图的每个面都有对应的对偶顶点；原始图的每个边具有对应的双重边；原始图的每个顶点都有一个对应的双面。原始边连接原始顶点和单独的原始面；双边缘连接双顶点和独立的双面。任何事物的对偶都是原始事物。参见Guibas和Stolfi的论文中的图4：f ∗ e e ∗ v v $f$$f^*$$e$$e^*$$v$$v^*$

Guibas和Stolfi建议将每个边缘（原始边缘或双重边缘）考虑为四个定向的定向边缘的集合。为简单起见，我称这些飞镖。每个箭从一个端点指向另一端点，并在本地分隔两个面和。选择哪个端点调用是飞镖的方向，选择哪个端点调用就是它的方向尾巴（ → e）头（ → e）左（ → e）右（ → e）尾巴（ → e）左（ → e$\vec{e}$$\text{tail}(\vec{e})$$\text{head}(\vec{e})$$\text{left}(\vec{e})$$\text{right}(\vec{e})$$\text{tail}(\vec{e})$$\text{left}(\vec{e})$。（Guibas和Stolfi使用“ Org”和“ Dest”代替“ tail”和“ head”，但我更喜欢较短的标签，因为不必要的缩写是邪恶的。）

对于任何飞镖，Guibas和Stolfi会关联三个相关的飞镖：$\vec{e}$

1. 尾部（→ e）→ $\text{tailNext}(\vec{e})$：飞镖在之后以逆时针顺序离开。$\text{tail}(\vec{e})$$\vec{e}$
2. $\text{flip}(\vec{e})$：与相同的“飞镖” ，但带有和。$\vec{e}$$\text{left}(\vec{e})$$\text{right}(\vec{e})$
3. $\text{rotate}(\vec{e})$：通过将绕其中点逆时针旋转四分之一圈而获得的双重飞镖。$\vec{e}$

这三个函数满足各种奇妙的身份，如下所示：

• $\text{right}(\text{tailNext}(\vec{e})) = \text{left}(\vec{e})$
• $\text{right}(\text{flip}(\vec{e})) = \text{left}(\vec{e})$
• $\text{right}(\text{rotate}(\vec{e})) = \text{head}(\vec{e})^*$
• $\text{flip}(\text{flip}(\vec{e})) = \vec{e}$
• $\text{rotate}(\text{rotate}(\text{rotate}(\text{rotate}(\vec{e})))) = \vec{e}$
• $\text{tailNext}(\text{rotate}(\text{tailNext}(\text{rotate}(\vec{e})))) = \vec{e}$

有关完整列表，请参见论文的第83页（但请注意作者使用后缀表示法，大概是因为它更接近声明性代码）。Guibas和Stolfi将满足所有这些身份的任何三重函数称为边缘代数。$e~Flip$e.Flip

而且，鉴于这三个功能，一个可以定义其他一些有用的功能，例如

• $\text{reverse}(\vec{e}) = \text{rotate}(\text{flip}(\text{rotate}(\vec{e})))$ —交换头和尾顶点
• $\text{leftNext}(\vec{e}) = \text{rotate}(\text{tailNext}(\text{rotate}(\text{rotate}(\text{rotate}(\vec{e})))))$左（ → e$\vec{e}$$\text{left}(\vec{e})$

最后，了解这些功能可以绝对告诉您有关细分拓扑的所有信息，并且可以使用这三个功能对任何曲面（无论是否可定向）的任何多边形细分进行编码。

四边数据结构是表面图的一种特别方便的表示形式，它提供对所有这些功能的访问，以及一些其他的恒定时间操作，如插入，删除，收缩，扩展和翻转边缘。分割或合并顶点或面；以及添加或删除句柄或大写字母。

玩得开心！