计算O（n log n）时间平方的稀疏多项式之和？

假设我们最多有阶数的多项式，，使得非零系数的总数为（即，多项式是稀疏的）。我对用于计算多项式的高效算法感兴趣： n n > m $p_1,...,p_m$$n$$n>m$$n$

由于此多项式的次数最多，因此输入和输出大小均为。在的情况下，我们可以在时间使用FFT计算结果。可以对任何进行此操作吗？如果有什么不同，我对系数为0和1的特殊情况感兴趣，应该对整数进行计算。O （n ）m = 1 O （n log n ）m < $2n$$O(n)$$m=1$$O(n \log n)$$m<n$

更新。我意识到，针对上述问题的快速解决方案将意味着快速矩阵乘法的发展。特别是，如果那么我们可以读取作为系数在。因此，计算对应于计算两个向量的外积，并且计算和对应于计算矩阵乘积。如果存在使用时间来计算的解决方案那么我们可以在时间中将两个 -n矩阵相乘 a i k b k j x i + n j p k（x ）2 p k（x ）2 ∑ k p k（x ）2 n $p_k(x)=\sum_{i=1}^n a_{ik} x^i + \sum_{j=1}^n b_{kj} x^{nj}$$a_{ik} b_{kj}$$x^{i+nj}$$p_k(x)^2$$p_k(x)^2$$\sum_k p_k(x)^2$∑ k p k$f(n,m)$ n n f （n 2$\sum_k p_k(x)^2$$n$$n$$f(n^2,n)$的，这意味着用于将需要一个重大突破。但是可能是可能的，其中是矩阵乘法的当前指数。想法，有人吗？米≤ Ñ ˚F $f(n,m)=O(n\log n)$$m\leq n$$f(n,m)=n^{\omega/2}$$\omega$

使用普通的乘法对具有非零系数的多项式进行平方运算需要时间，因此对于那些多项式，这应该比FFT优先。如果，则大于的多项式数为，这将花费时间平方并合并（其余多项式也将合并）。这是对为时明显的边界的改进。 O （x 2 i）x i < $x_i$$O(x_i^2)$ Σ我X我=ÑX我$x_i < \sqrt{n \log n}$$\sum_i x_i = n$$x_i$ O（$\sqrt{n \log n}$ø（Ñ 3 / 2（日志Ñ） 1 / 2）ø（米Ñ登录Ñ）米Θ（$O(\sqrt{n / \log n})$$O(n^{3/2}({\log n})^{1/2})$$O(m n \log n)$$m$$\Theta(\sqrt{n / \log n})$

没有一个完整的答案，但可能会有所帮助。

注意：仅当的支撑较小时，它才有效。$p_i^2$

对于多项式，令是其支持，而是支撑的大小。大多数将是稀疏的，即将有很小的支持。S q = { i ∣ a i ≠ 0 } s q = | 小号q | p $q = a_0 + a_1x + \dots +a_nx^n$$S_q = \{i \mid a_i \not= 0\}$$s_q = |S_q|$$p_i$

有一些算法可以 在乘积的支持范围内以准线性时间乘以稀疏多项式和，请参见例如http://arxiv.org/abs/0901.4323b a $a$$b$$a b$

的支持是（包含在），其中两个集合和和定义为。如果所有产品的支持量很小（例如，总共线性），则可以只计算产品并求和所有单项式。š 一个 + 小号b小号Ť 小号+ Ť ：= { s ^ + 吨| 小号∈ 小号，吨∈ Ť } $ab$$S_a + S_b$$S$$T$$S + T := \{s + t \mid s \in S, t \in T\}$$n$

然而，找到多项式和使得的支撑大小是和的支撑大小的平方是非常容易的。在这个特定的应用中，我们对多项式求平方。所以问题是比大多少。通常的度量是倍数。有带有无穷倍数的集。但是，如果您可以排除具有大倍数的集作为支持，那么您可以找到解决问题的快速算法。 b a b a b S + S S | S + S | / | S | p $a$$b$$ab$$a$$b$$S + S$$S$$|S + S|/|S|$$p_i$

只是想注意自然逼近算法。但是，这并没有利用稀疏性。

您可以使用随机序列 取我们可以使用FFT 在时间内计算。然后和。因此，您可以获得时间的近似值。$(\sigma_i)_{i\in[n]}$$X=\sum_i \sigma_i p_i(x)$$X^2$$n\log n$$EX^2 = \sum_i p_i(x)^2 = S$$\sqrt{VX^2} = O(S)$$1+\varepsilon$$O(\varepsilon^{-2} n \log n )$