类型空间中的对数或根运算是什么？

我最近在阅读计算的两个对偶：否定和小数类型。本文扩展了求和类型和乘积类型，为类型a - b和提供了语义a/b。

与加法和乘法不同，乘幂，对数和生根不是一个而是两个倒数。如果函数类型（a→b）是类型理论乘幂，则给定类型a → b（或b^a），具有类型logb(c)或类型意味着什么a√c？

将对数和根扩展为类型是否有意义？

如果是这样，这方面是否有任何工作，关于如何理解这些影响有什么好的指导？

我尝试通过逻辑查找有关此问题的信息，希望Curry-Howard的信件对我有帮助，但无济于事。

— 埃弗里
source

Answers:

A型具有对数基的恰好当。也就是说，可以看作是元素在给定位置的容器。确实，这是问我们必须提高以获得幂的问题。 $C$ $X$ $P$ $C \cong P\to X$ $C$ $X$ $P$ $P$ $X$ $C$

这是有道理的工作，哪里 $\mathop{log}F$ 是一个仿函数，只要对数存在，这意味着 $F$ 。请注意，如果 $\mathop{log}\!_X(F\:X)$ ，那么我们肯定有 $F\:X\cong \mathop{log}F\to X$ ，因此容器告诉我们什么有趣以外的元素：集装箱，形状不具有对数的选择。 $F\:1\cong 1$

当您考虑仓位集时，熟悉的对数定律很有意义

\begin{array}{rcll} 升 Ø G （ ķ 1个 ） & = & 0 & 空容器中无位置 \\ 升 Ø G 一世 & = & 1个 & 一个，一个位置的容器 \\ 升 Ø G （ F \times G ） & = & 升 Ø G F + 升 Ø G G & 一对容器，位置选择 \\ 升 Ø G （ F \cdot G ） & = & 升 Ø G F \times 升 Ø G G & 集装箱集装箱，一对位置 \end{array}

$\begin{array}{rcl@{\qquad}l} \mathop{log} (\mathop{K}1) &=& 0 & \mbox{no positions in empty container}\\ \mathop{log} I &=& 1 & \mbox{container for one, one position}\\ \mathop{log} (F\times G) &=& \mathop{log}F+\mathop{log}G & \mbox{pair of containers, choice of positions} \\ \mathop{log} (F\cdot G) &=& \mathop{log}F\times\mathop{log}G & \mbox{container of containers, pair of positions} \end{array}$

我们也获得其中 $\mathop{log}\!_X(\nu Y. T) = \mu Z. \mathop{log}\!_X T$ $Z=\mathop{log}\!_XY$ 在活页夹下。即，通过迭代对数来归纳地定义某些协数据中每个元素的路径。例如，

升 Ø G 小号 Ť [R Ë 一种 米 = 升 Ø G_{X} （ ν ÿ 。 X \times ÿ ） = μ ž 。 1个 + ž = ñ 一种 Ť

$\mathop{log}\mathop{Stream} = \mathop{log}\!_X(\nu Y. X\times Y) = \mu Z. 1 + Z = \mathop{Nat}$

鉴于导数告诉我们单孔上下文中的类型，对数告诉我们位置，我们应该期望有一个连接，实际上

F 1个 ≅ 1个 \Rightarrow 升 Ø G F ≅ \partial F 1个

$F\:1\cong 1 \;\Rightarrow\; \mathop{log}F\cong \partial F\:1$

在没有形状选择的情况下，位置与单孔上下文相同，其中元素被擦除。更一般地，始终代表对形状的选择以及该形状内的元素位置。 $\partial F\:1$ $F$

恐怕我对根的说法很少，但可以从类似的定义开始，然后随口而出。有关类型的对数的更多使用，请检查Ralf Hinze的“备注函数，多型！”。要跑...

— 猪工
source

达曼本人的回答。欢迎康纳！

— Andrej Bauer

嗯，我很想知道什么是根类型，因为它们将需要具有假想数量的居民的类型。除非我错了。我会接受您的回答，但是如果您有时间详细阐述其根源，将不胜感激。

— 埃弗里

这能以某种方式与ln（1 + x）的泰勒级数有关吗？

— yatima2975 2013年

使用对数和指数，我想知道...我们需要构造一个Napier对象吗？（例如，假想唯一的对象e，使得∂e = e）

— Rhymoid

我不知道有什么工作可以遵循这一思路，但经过一会儿思考，我就得出了这样的假设：指数类型的“根”不是共域，而指数的“对数”只是域？

— 马克·哈曼
source

是的，所以我认为您的直觉是不错的，但是您的结论尚不正确。根运算和对数运算分别是当您“反转”共域或域时得到的，而不是（共）域本身。问题是，反转意味着什么，它产生的二进制类型的运算是什么？

— 埃弗里

x^{y}

$x^y$

y

$y$

x

$x$

x

$x$

y

$y$

— 马克·哈曼

抱歉，我的用语不完全清楚。我并不是要问“根是什么，应用对数函数的结果是什么”。我想知道生根的作用是什么。查找对数的操作是什么。如果→是求幂，根操作下是两种类型。对数运算下有两种类型。我所说的“反转参数”是没有时间在这里解释。我会澄清我的问题，谢谢。

— 埃弗里（Efrey）2013年

我链接的论文提供了类型a - b和类型的语义a / b。我不关心减少运算的对数和根的结果，而是将它们的语义理解为二进制类型的运算符。

— 埃弗里，2013年