有非构造算法存在证明吗？

我记得我可能遇到过一些问题，这些问题已被证明可以解决，并且具有特定的复杂性，但是没有已知的算法可以真正达到这种复杂性。

我全神贯注于这种情况。算法存在性的非建设性证明将是什么样子。

确实存在这样的问题吗？它们有很多实用价值吗？

考虑函数（从此处获取）

$\qquad \displaystyle f(n) = \begin{cases} 1 & 0^n \text{ occurs in the decimal representation of } \pi \\ 0 & \text{else}\end{cases}$

尽管看起来很像，但$f$可通过以下参数计算。要么

1. $0^n$发生在每一$n$或
2. 有一个$k$所以发生$0^k$，但没有发生$0^{k+1}$。

我们不知道它是（还），但我们知道，用$f \in F = \{f_\infty, f_0, f_1, \dots \}$

1. 和$f_\infty(n) = 1$
2. 。$f_k(n) = [n \leq k]$

由于，˚F是可计算的-但我们不能说什么 ˚F是。$F \subset \mathsf{RE}$$f$$f$

这可能不完全是您的意思，但是Seth Pettie和Vijaya Ramachandran的最佳最小生成树算法在某种意义上是非建设性的。

是否存在确定性算法来计算线性（意思是）时间内的最小生成树是一个悬而未决的问题。Pettie和Ramachandran描述了一种在线性时间中计算MST 的算法（如果存在）。$O(n+m)$

直观地讲，他们的算法将MST问题的任何顶点实例减少为线性时间为O （k ）个顶点的O （n / k ）个较小实例，其中（例如）k = O （log log log log log log log n ）。然后，他们计算出最佳比较树，该树通过蛮力枚举来计算任何k-顶点图的最小生成树；即使这花费了k的五倍指数时间，也只有$n$$O(n/k)$$O(k)$$k = O(\log\log\log\log\log\log\log n)$$k$$k$时间。最后，他们使用这种最佳决策树解决小型实例。$O(\log\log n)$

换句话说，Pettie和Ramachandran通过构造构造最佳MST算法的算法仅间接构造最佳MST算法。

这是两个例子。

1. 一些使用Robertson-Seymour定理的算法。定理指出，每种情况都存在一个有限的障碍，但是没有提供找到这种有限集的方法。因此，尽管我们可以证明该算法存在，但是该算法的显式声明将取决于我们不知道如何找到的有限障碍集。换句话说，我们知道有一种算法，但还不知道如何找到一种算法。

2. 一个更强有力的例子，尽管不那么自然，本质上是使用PEM或类似的非构造性公理。在可以证明算法的构造性存在暗示非构造性公理的意义上，这种说法更强（类似于Brouwer的弱反例）。这样的例子更强大，因为它不仅表明我们现在不知道任何显式算法（或找到一种算法的任何算法方式），而且也没有这样做的希望。

   例如，我们可以使用PEM来证明一种算法存在，而我们不知道哪一种算法和寻找一种算法的建设性方式就意味着一种非建设性公理。让我举一个简单的例子：

   对于每个固定的图灵机，停止问题都是微不足道的（每个TM要么停止，要么不停止，并且在每种情况下都有一个TM输出正确的答案），但是我们如何才能找到一种无需解决即可正确解决问题的算法（停止问题的统一版本？

   更正式地讲，我们不能建设性地证明给定TM ，有一个TM H T决定M的停止问题。更正式地说，以下陈述不能得到建设性的证明：$M$$H_T$$M$

   $$\forall e\in \mathbb{N} \ \exists f\in \mathbb{N} \ \left[ (\{f\}( \ )=0 \land \{e\}\mathord{\downarrow}) \lor (\{f\}( \ )=1 \land \{e\}\mathord{\uparrow}) \right]$$

   这里是代码为e的TM （以TM的某种固定表示形式），{ e } ↓表示{ e }停止，而{ f } ↑表示{ f }不停止。$\{e\}$$e$$\{e\}\mathord{\downarrow}$$\{e\}$$\{f\}\mathord{\uparrow}$$\{f\}$

是。

在（1）中的某一点上，对于任何有限域大小Cai，Chen和Lu，复权计数图同态二分定理仅通过多项式插值证明了两个计数问题之间存在多项式时间约简。我不知道这种算法有任何实用价值。

请参见arXiv版本的第4节。有问题的引理是引理4.1，称为“第一固定引理”。

使该证明具有建设性的一种方法是证明Lovasz结果的复加权版本，即：

对于所有，ž ħ（ģ ，瓦特，我）= ž ħ（ģ ，瓦特，Ĵ ）当且仅当存在一个构˚F的ģ使得˚F （我）= Ĵ。$G$$Z_H(G, w, i) = Z_H(G, w, j)$$f$$G$$f(i) = j$

在这里，是H中的一个顶点，i和j是G中的一个顶点，Z H（G ，w ，i ）是从G到H的所有复加权图同态的总和，但必须附加约束i到w。$w$$H$$i$$j$$G$$Z_H(G, w, i)$$G$$H$$i$$w$

（1）蔡金一，陈曦和卢品言，具有复数值的同态图：二分法定理（arXiv）（ICALP 2010）

80年代后期的一些早期结果：

• Fellows和Langston，“ 证明多项式时间可判定性的非构造工具 ”，1988年

• 布朗，研究员，兰斯顿，“ 多项式时间自约化：理论动机和实际结果 ”，1989年

从第二项的摘要中：

但是，图论的最新基础发展已经提供了功能强大的新非构造工具，这些工具可以用于保证P中的成员资格。这些工具在两个不同的级别上是非构造的：它们既不产生决策算法，仅建立障碍集的有限性，他们也没有透露这样的决策算法是否对构建解决方案有帮助。我们简要回顾并说明了这些工具的用法，并讨论了在应用这些新工具时寻找有希望的多项式时间决策算法的看似艰巨的任务。

我们可以显示出一系列无限的问题（具有可疑的实用价值）的示例：

1. 对于每个问题，都有一种解决方案。
2. 没有办法构造这些算法（通常）。

换句话说，是可证明的非构造性证明。每个图灵机M的问题族（来自这个问题）：$M$

$L_{M}=\Bigl\{\langle M'\rangle \;\Big|\;\; L(M)=L(M') \text{ and } |\langle M\rangle| \geq | \langle M' \rangle| \Bigr\}$

1. $M$

2. $P$$M$$P(\langle M \rangle)$$L_M$$M$$M'$$|\langle M \rangle | \geq |\langle M' \rangle|$$P(\langle M \rangle)(\langle M' \rangle)$$P$

摘自Mareike Massow，Jens Schmidt，Daria Schymura和Siamak Tazari的MohammadTaghi Hajiaghayi教程的“二维理论和算法图次要理论讲义”。

每个未成年人闭合图属性都可以由一组有限的禁止未成年人来表征。

不幸的是，它们的结果“固有地”是非建设性的，即，没有一种算法可以通常确定对于给定的次要闭合图属性应排除哪些次要对象。此外，禁止的未成年人的数量可能很高：例如，对于可嵌入圆环的图形，已知有30,000多个禁止的未成年人，但清单不完整。

[...]

可以用多项式时间（甚至以立方时间）确定每个次要闭合图的属性。

Lovász局部引理算法-“Lovász局部引理算法提供了一种构建对象的算法方法，该对象服从具有有限依赖性的约束系统。...但是，引理是非构造性的，因为它不提供任何有关如何避免不良事件。” 在分布的某些假设/限制下，Moser / Tardos [1]给出了一种构造算法。Lovasz局部引理似乎与复杂性理论有着深远的联系，例如，参见[2]

[1] Moser，Tardos 对一般的LovászLocal Lemma的建设性证明

[2] Lov´asz当地的引理和满意度 Gebauer，Moser，Scheder和Welzl