经典定理的量子证明

我对一些问题的例子感兴趣，在这些问题中，似乎与量子力学/信息无关的定理（例如，关于纯经典物体的某些陈述）可以使用量子工具来证明。古典定理的量子证明调查（A. Drucker，R。Wolf）给出了此类问题的很好的清单，但是肯定还有很多。

与真实和复杂的分析类似，其中不仅可以进行量子证明而且还可以进行“更多照明”的示例尤其令人感兴趣，其中将实际问题置于复杂的环境中通常会使问题更加自然（例如，几何形状更简单，因为被代数封闭等）; 换句话说，量子世界是其“自然栖息地”的古典问题。$\mathbb{C}$

（我并不是在这里以任何精确的意义来定义“量子性”，而且有人可能会争辩说所有这样的论点最终都可以归结为线性代数；嗯，人们还可以使用复数来转换任何论点以仅使用实数对，但是那又是什么呢？ ？）

有一个最近的一篇文章从斯科特·阿伦森提供了新的证据，证明永久是＃P-硬。该证明基于线性光学量子计算模型，并且比Leslie Valiant更为直观。

我认为，我喜欢以下论文：

卡塔琳·弗里德尔（Katalin Friedl），加博尔·伊万诺斯（Gabor Ivanyos），米克洛·桑塔（Miklos Santha）。有效测试组。在STOC'05中。

在这里，他们为阿贝尔族定义了一个“经典”的测试器。但是，首先要提供一个量子测试仪，然后再消除所有量子部分。

我喜欢这篇论文的地方是他们使用量子测试仪来获得直觉并使用它来解决问题。听起来可能更困难（从量子和经典开始），但作者是量子计算领域的知名研究人员。因此，也许对他们来说更容易开始。

我要说的是，他们的主要技术贡献是测试了同质性，以消除量子部分。

两个非常有趣的结果：

• Samuel Fiorini，Serge Massar，Sebastian Pokutta，Hans Raj Tiwary和Ronald de Wolf证明“没有多项式大小的线性程序（LP），其相关多面体投影到行进的业务员多面体，即使不需要LP是对称的也是如此。 ”（引自摘要）。
  他们使用量子通信复杂性作为工具。请参阅他们的论文和Gil Kalai的博客文章。还要注意吉尔·凯莱（Gil Kalai）帖子下的戴夫（Dave）评论。我还没有读过这篇论文，所以我无法评论量子物质在哪里以及如何使用。

• Andrew M.Childs，Shelby Kimmel和Robin Kothari使用量子查询复杂度证明了一种非常经典的度量的下界，这是诸如PARITY之类的函数的公式门数。看他们的论文。

由于永久物给出了玻色子在线性干涉仪中的干扰后其测量结果的概率幅度，因此Scheel获得了简单的“量子”证明，即任何any矩阵的永久物的绝对值均为1（http://arxiv.org/abs / quant-ph / 0406127）。

• 另请参见Wolchover为西蒙斯研究所（Simons Institute）撰写的有关经典/量子二分现象的半流行科学概述/调查，其中经典计算包含了量子思想，并提供了一些示例和线索/参考。

近年来，量子思想已帮助研究人员证明了有前途的数据加密方案（称为基于格的加密系统）的安全性，其某些应用程序甚至可以掩盖来自用户的敏感信息（例如DNA），甚至来自处理它们的公司。量子计算证明还得出了纠错码最小长度的公式，该公式可防止数据损坏。

量子思想还激发了许多重要的理论结果，例如驳斥了一种旧的，错误的算法，该算法声称可以有效解决著名的旅行推销员难题，该难题要求如何找到穿越多个城市的最快路线。

• 另一个最近的例子，类似于Razborov / Rudich 自然证明的研究方向（将复杂度分类与打破随机数生成器相关）

区分随机函数与随机排列的量子下界 Henry Yuen

在大小为N的域上区分随机函数和随机置换的问题在理论密码学中很重要，在密码学中，许多基元的安全性取决于问题的难度。我们研究这个问题的量子查询复杂性...