Questions tagged «randomness»

随机性是概率算法,许多组合参数,哈希函数分析以及密码学以及其他应用程序的关键组成部分。

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从概率成对交换产生随机排列的最有效方法是什么?
我感兴趣的问题与生成随机排列有关。以概率成对交换交换门为基本构建块,产生nnn元素的均匀随机排列的最有效方法是什么?在这里,我将“概率成对交换门”作为操作以某种概率p在选定元素iii和之间实现交换门jjjppp并且可以为每个门自由选择,否则可以选择同一性。 我意识到这通常不是生成随机排列的方式,通常人们可能会使用Fisher-Yates混编之类的方法,但是,由于允许的操作不同,因此这对于我想到的应用程序将不起作用。 显然可以做到这一点,问题是效率如何。为了达到这个目标,最少需要多少个概率交换? 更新: Anthony Leverrier提供了以下方法,该方法的确使用O(n2)O(n2)O(n^2)门产生了正确的分布,而Ito Tsuyoshi Ito提供了另一种在注释中具有相同缩放比例的方法。不过,我迄今见过的最好的下界⌈log2(n!)⌉⌈log2⁡(n!)⌉\lceil \log_2(n!) \rceil,它可以扩展为O(nlogn)O(nlog⁡n)O(n\log n)。因此,问题仍然悬而未决:是否是O(n2)O(n2)O(n^2)可以完成的最佳选择(即下界是否更好)?或者,是否有更有效的电路系列? 更新: 一些答案和评论提出了完全由概率互换组成的电路,其中概率固定为1212\frac{1}{2}。由于以下原因(从注释中删除),这种电路无法解决此问题: 想象一个使用mmm这种门的电路。然后有2m2m2^m概率的计算路径,因此对于某个整数k ,任何排列都必须以概率k2−mk2−mk 2^{−m}进行。但是,对于均匀分布,我们要求k2−m=1n!k2−m=1n!k 2^{−m}=\frac{1}{n!}kn!=2mkn!=2mk n! = 2^mkkkn≥3n≥3n\geq33|n!3|n!3|n!n≥3n≥3n\geq 33∤2m3∤2m3\nmid 2^m 更新(来自提供赏金的mjqxxxx): 提供的赏金用于(1)需要门的证明,或(2)对于使用少于门的任何个工作电路。n n (n − 1 )/ 2ω(nlogn)ω(nlog⁡n)\omega(n \log n)nnnn(n−1)/2n(n−1)/2n(n-1)/2

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真正的随机数生成器:图灵可计算吗?
我正在寻找一个确定的答案,即“真正随机”数的生成是否是图灵可计算的。我不知道该怎么说。 关于“用于生成随机数的有效算法”的StackExchange问​​题几乎可以回答我的问题。查尔斯·斯图尔特(Charles Stewart)在回答中说:“ [马丁·洛夫随机性]不能由机器产生。” 罗斯·斯尼德(Ross Snider)表示:“任何确定性过程(例如图灵/套准机)都不能产生“哲学”或“真实”随机数。” 关于什么才是真正的随机数生成器,是否有一个明确的公认概念?如果是这样,是否知道它不能由图灵机计算? 也许将我指向相关文献就足够了。感谢您的任何帮助,您可以提供! 编辑。感谢Ian和Aaron的丰富知识!我在这方面没有受过教育,因此我很感谢您的协助。如果我可以在此附录中稍微扩展一下这个问题:是一种可以访问纯随机性源(TM)的TM可以计算传统TM无法实现的函数吗?

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非确定性和随机性有什么区别?
最近,我听到了这样的声音: “非确定性机器与概率机器不同。从广义上讲,非确定性机器是其中不知道转移概率的概率机器”。 我觉得我明白了,但我真的没有。有人可以向我解释(在机器环境中还是一般情况下)? 编辑1: 只是为了澄清,报价是在有限自动机的上下文中,但是这个问题对图灵机也很有意义,正如其他人回答的那样。 另外,我听到人们说-“ ...然后我不确定地从集合中选择对象x”。我曾经以为它们的意思是“随机”。因此造成混乱。

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有效计算的功能可作为Sarnak的Mobius猜想的反例
最近,吉尔·凯莱(Gil Kalai)和迪克·利普顿(Dick Lipton)都写了一篇不错的文章,内容涉及数论和黎曼假设专家Peter Sarnak提出的一个有趣的猜想。 推测。令为莫比乌斯函数。假设˚F :Ñ → { - 1 ,1 }是一个甲Ç 0函数与输入ķ在二进制表示的形式ķ,然后 Σ ķ ≤ Ñ μ (ķ )⋅ ˚F (ķ )= Ô (Ñ )。μ (k )μ(k)\mu(k)f:N→{−1,1}f:N→{−1,1}f: \mathbb{N} \to \{-1,1\}AC0AC0\mathsf{AC}^0kkkkkk∑k≤nμ(k)⋅f(k)=o(n).∑k≤nμ(k)⋅f(k)=o(n). \sum_{k \leq n} \mu(k) \cdot f(k) = o(n) \text. 请注意,如果则我们有素数定理的等价形式。f(k)=1f(k)=1f(k) = 1 更新:Ben Green在MathOverflow上提供了一篇简短的论文,声称可以证明这一猜想。看一下纸。 另一方面,我们知道通过设置(稍作修改,使范围在f(k)=μ(k)f(k)=μ(k)f(k) = \mu(k)−1,1−1,1\\{-1,1\\}),所得到的总和具有估计 有一个上限值,该μ (ķ …

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包含的
许多人认为。但是我们只知道在多项式层次结构的第二级中,即。显示是首先将其降至多项式层次结构的第一级,即。乙P P 乙P P ⊆ Σ P 2 ∩ Π P 2乙P P = P 乙P P ⊆ Ñ PBPP=P⊆NPBPP=P⊆NP\mathsf{BPP} = \mathsf{P} \subseteq \mathsf{NP}BPPBPP\mathsf{BPP}BPP⊆ΣP2∩ΠP2BPP⊆Σ2P∩Π2P\mathsf{BPP}\subseteq \Sigma^ \mathsf{P}_2 \cap \Pi^ \mathsf{P}_2BPP=PBPP=P\mathsf{BPP} = \mathsf{P}BPP⊆NPBPP⊆NP\mathsf{BPP} \subseteq \mathsf{NP} 这种约束意味着不确定性至少与多项式时间的随机性一样强大。 这也意味着,如果对于一个问题,我们可以使用有效的(多项式时间)随机算法找到答案,那么我们可以有效地(在多项式时间内)验证答案。 是否有任何已知的有趣结果?BPP⊆NPBPP⊆NP\mathsf{BPP} \subseteq \mathsf{NP} 是否有任何理由相信证明目前无法实现(例如障碍或其他论点)?BPP⊆NPBPP⊆NP\mathsf{BPP} \subseteq \mathsf{NP}

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BPP的层次结构与非随机化
一句话:层次结构的存在是否意味着任何去随机化结果?B P T I M E乙PŤ一世中号Ë\mathsf{BPTIME} 一个相关但模糊的问题是:层次结构的存在是否意味着任何困难的下限?解决这个问题是否遇到了复杂性理论中的已知障碍?B P T I M E乙PŤ一世中号Ë\mathsf{BPTIME} 我提出这个问题的动机是要理解显示的层次结构的相对难度(相对于复杂性理论中的其他主要开放性问题)。我假设每个人都相信存在这样的层次结构,但是如果您不这么认为,请更正我。B P T I M E乙PŤ一世中号Ë\mathsf{BPTIME} 一些背景:包含那些语言,这些语言的成员资格可以由概率机车在时间f (n )内以有限的错误概率来确定。更确切地说,一个语言大号∈ 乙P Ť 我中号È(˚F (Ñ )),如果存在一个概率图灵机Ť使得对于任何X ∈ 大号机器B P T I M E(f(n ))乙PŤ一世中号Ë(F(ñ))\mathsf{BPTIME}(f(n))F(n )F(ñ)f(n)L∈BPTIME(f(n))L∈BPTIME(f(n))L \in \mathsf{BPTIME}(f(n))TTTx∈Lx∈大号x \in LTTT在时间运行,并用概率至少接受2 / 3,并且对于任何X ∉ 大号,Ť运行在时间Ö (˚F (| X |)),并用概率废品至少2 / 3。O(f(|x|))O(f(|x|))O(f(|x|))2/32/32/3x∉Lx∉Lx \not …

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概率图灵机能否解决停机问题?
拥有无限个真正随机比特流的计算机比没有计算机的计算机更强大。问题是:它足以解决暂停问题吗? 也就是说,概率计算机可以确定确定性程序是否暂停? 概率计算机无法完成确定性操作的示例:考虑一个小的程序(长度小于一千字节),该程序输出的字符串的Kolmogorov复杂度大于千兆字节。该柯尔莫哥洛夫复杂性字符串的长度是产生该字符串的最短确定性程序的长度。因此,根据定义,确定性程序无法生成复杂度大于其自身长度的字符串。但是,如果给定无限量的真正随机比特流,那么一个小型程序就可以通过简单地回声(例如100亿个随机比特)并希望这些比特的Kolmogorov复杂度足够高来成功完成99.99999 ...%的任务。因此,产生一串优越的Kolmogorov复杂度在概率程序的可能性范围之内,但对于确定性程序则根本不可能。 就是说,我想知道是否有可能使用真正的随机位来对停顿问题进行钢锯。例如,一种算法可能会随机生成定理并证明/证明/放弃它们,直到它知道足以证明/证明给定的确定性程序停止为止。

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给定边界框中的随机自避免晶格循环
关于“ Slither Link”难题,我一直在想:假设我有一个的正方形单元格,并且我想找到一个简单的网格边缘循环,在所有可能的简单循环中均匀地随机分布。n × nn×nn\times n 做到这一点的一种方法是使用马尔可夫链,其状态是正方形的集合,其边界是简单的周期,并且其过渡包括选择一个随机的正方形进行翻转,并在修改后的正方形组仍然具有简单的周期时保持翻转它的边界。一个人可以以这种方式从任何简单的循环过渡到其他任何循环(使用关于脱壳的标准结果),因此最终可以收敛到统一的分布,但是速度有多快? 或者,是否有更好的马尔可夫链,或选择简单循环的直接方法? 预计到达时间:请参阅此博客文章,获取用于计算我正在寻找的周期数的代码,以及一些其中一些指向OEIS的指针。众所周知,计数与随机生成几乎是一回事,我从这些数字的因式分解中缺乏任何明显的模式以及OEIS条目中缺乏公式的推断得出,不太可能存在已知的简单直接方法。但这仍然存在以下问题:该链融合的速度有多快,以及是否有更好的链开放性。

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近似真实3LIN的置信度传播?
在2002年发表的《科学》杂志论文中,Mezard,Parali和Zecchina提出了随机3SAT 的信念传播启发式算法。实验表明,启发式方法对于可能存在令人满意的分配的每个变量约束的比率非常有效。 我的问题是: (1)如果您考虑使用随机3LIN而不是随机3SAT怎么办?(每个约束都是GF(2)上的随机线性方程) (2)如果您考虑随机近似实数3LIN怎么办?在这种情况下,是否可以想象(经过适当调整的)信念传播启发式算法的性能会更易于分析? Subhash Khot最近的工作中定义的近似版本如下:变量可以采用实数值,而不仅仅是二进制数值。我们仅考虑范数1的赋值。每个方程的形式为,其中是正态分布的,并且从变量集中统一选择。如果,并且不仅是存在完全相等的等式,也满足一个方程。C1个X1个+ c2X2+ c3X3= 0C1个X1个+C2X2+C3X3=0c_1 x_1 + c_2 x_2 + c_3 x_3 = 0C1个,ç2,ç3C1个,C2,C3c_1,c_2,c_3X1个,X2,X3X1个,X2,X3x_1,x_2,x_3| C1个X1个+ c2X2+ c3X3| ≤ε|C1个X1个+C2X2+C3X3|≤ϵ|c_1 x_1 + c_2 x_2 + c_3 x_3|\leq \epsilon 直觉是,在近似版本中,对信念(应该是变量的分配)的更改可以连续/递增的方式发生。

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低阶随机函数为实多项式
是否有(合理)的方式进行采样均匀随机布尔函数f:{0,1}n→{0,1}f:{0,1}n→{0,1}f:\{0,1\}^n \to \{0,1\},其程度作为一个真正的多项式是至多ddd? 编辑:尼森和Szegedy表明程度的函数ddd最多取决于d2dd2dd2^d坐标,所以我们可以假设n≤d2dn≤d2dn \leq d2^d。我看到的问题如下:1)一方面,如果我们在d2dd2dd2^d坐标上选择一个随机布尔函数,则其度将接近d2dd2dd2^d,远高于ddd。2)另一方面,如果我们最多随机选择每个度系数ddd,则该函数将不是布尔值。 所以问题是:有没有一种方法可以对避免这两个问题的低阶布尔函数进行采样?


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除詹森不等式之外,以表示的
如果fFf是凸函数然后Jensen不等式指出f(E[x])≤E[f(x)]F(Ë[X])≤Ë[F(X)]f(\textbf{E}[x]) \le \textbf{E}[f(x)],并且加以必要的变更时fFf是凹的。显然,在最坏的情况下不能上限E[f(x)]Ë[F(X)]\textbf{E}[f(x)]在以下方面f(E[x])F(Ë[X])f(\textbf{E}[x])为凸fFf,但有一个约束,且在去如果这个方向fFf是凸但不是太凸?有一些标准的约束,让上凸函数条件fFf(以及可能的分布以及,如果需要的话),这将让你得出这样的结论E[f(x)]≤φ(f)f(E[x])Ë[F(X)]≤φ(F)F(Ë[X])\textbf{E}[f(x)] \le \varphi(f)f(\textbf{E}[x]),其中φ(f)φ(F)\varphi(f)是曲率/度的凸度的某个函数fFf?类似于Lipschitz病状吗?


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有界深度概率分布
关于有限深度计算的两个相关问题: 1)假设您以n位开始,并且以位i开始可以独立于0或1,并且概率为p(i)。(如果使问题更简单,我们可以假定所有p(i)均为0,1或1/2。甚至都是1/2。) 现在,您需要进行无数次的计算。在每个回合中,您对不相交的位集应用可逆的经典门。(修复您最喜欢的一组通用经典可逆门。) 最后,您将获得n位字符串上的概率分布。是否有限制这种分布的结果? 我正在寻找类似于Hastad交换引理,Boppana的结果,即总影响较小或LMN定理。 2)与1)相同的问题,但具有有限深度量子电路。

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在随机减少或P / poly减少下NP完全的问题。
在这个问题中,我们似乎已经确定了一个自然问题,即在随机归约条件下是NP完全的,但在确定性归约条件下可能不是(尽管这取决于数论中哪些未经证实的假设是正确的)。还有其他类似的问题吗?在P / poly降低下是否存在NP完全的自然问题,但在P降低下是否存在不存在的自然问题?

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