真正的随机数生成器：图灵可计算吗？

我正在寻找一个确定的答案，即“真正随机”数的生成是否是图灵可计算的。我不知道该怎么说。 关于“用于生成随机数的有效算法”的StackExchange问​​题几乎可以回答我的问题。查尔斯·斯图尔特（Charles Stewart）在回答中说：“ [马丁·洛夫随机性]不能由机器产生。” 罗斯·斯尼德（Ross Snider）表示：“任何确定性过程（例如图灵/套准机）都不能产生“哲学”或“真实”随机数。” 关于什么才是真正的随机数生成器，是否有一个明确的公认概念？如果是这样，是否知道它不能由图灵机计算？

也许将我指向相关文献就足够了。感谢您的任何帮助，您可以提供！

编辑。感谢Ian和Aaron的丰富知识！我在这方面没有受过教育，因此我很感谢您的协助。如果我可以在此附录中稍微扩展一下这个问题：是一种可以访问纯随机性源（TM）的TM可以计算传统TM无法实现的函数吗？

我参加讨论的时间很晚，但是我将尝试解决先前提出的几个问题。

首先，正如亚伦·斯特林（Aaron Sterling）观察到的那样，重要的是要首先确定我们所说的“真正随机”数是什么意思，特别是如果我们从计算复杂性或可计算性的角度看待事物。

但是让我争辩说，在复杂性理论中，人们主要对伪随机性和伪随机生成器感兴趣，即，从字符串到字符串的函数，使得除了某些有效过程的均匀分布之外，输出序列的分布也无法被告知（其中可以考虑有效的几种含义，例如可乘时计算，多项式电路等）。这是一个美丽而活跃的研究领域，但我想大多数人都会同意，它所研究的对象并不是真正的随机对象，它们看上去只是随机的就足够了（因此称为“伪”）。

在可计算性理论中，人们对“真正的随机性”这个好的概念已经达成共识，并且确实是盛行的Martin-Löf随机性概念（其他人已经提出并且有研究的兴趣，但是并不能掩盖全部）。 Martin-Löf随机性的优良特性）。为了简化问题，我们将考虑无限二进制序列的随机性（其他对象，例如从字符串到字符串的函数可以很容易地由此类序列编码）。

如果没有可计算的过程（即使我们允许该过程在三倍指数时间或更长时间内可计算），则无限二进制序列是Martin-Löf随机数，则无法检测到随机性缺陷。$\alpha$

（1）“随机缺陷”是什么意思？这部分很简单：它是一个集测度为0，即几乎所有的序列不具有（在这里我们谈论财产勒贝格测度即每个比特具有测量的概率是0独立于所有其他的位）。这种缺陷的一个例子是“渐近地具有1/3的零和2/3的零”，这违反了大数定律。另一个示例是“对于每n个，α的前2n位是完美分布的（零个与1个一样多”）。在这种情况下，可以满足大数定律，但不能满足中心极限定理。等等$1/2$$0$$\alpha$
（2）可计算过程如何测试一个序列不属于特定度量0集？换句话说，可以计算地描述哪些度量0集？这正是Martin-Löf测试的目的。Martin-Löf检验是一种可计算的过程，该过程在给定输入k的情况下（例如，通过具有输入的图灵机）可计算地生成一系列字符串w k ，0，w k ，1，... ü ķ通过其中的一个起始无穷序列瓦特ķ ，我具有测量至多2 - $k$$w_{k,0}$$w_{k,1}$$U_k$$w_{k,i}$$2^{-k}$（如果您喜欢拓扑，请注意，这是产品拓扑中一组无限二进制序列的开放集）。然后该组具有量度0和作为被称为马丁-LOF nullset。现在，我们可以说马丁-洛夫随机性，方法是说一个无限的二进制序列α如果不属于任何马丁-洛夫空集，则是马丁-洛夫随机。 $G=\bigcap_k U_k$$0$$\alpha$

此定义看似技术性的，但由于以下几个原因而被广泛接受为正确的定义：

• 它足够有效，即其定义涉及可计算的过程
• 它足够强大：您可以在概率论教科书中找到的任何“几乎确定”的属性（大数定律，对数迭代定律等）都可以通过Martin-Löf检验进行检验（尽管有时很难证明）
• 它是由几个人使用不同的定义（特别是使用Kolmogorov复杂度的Levin-Chaitin定义）独立提出的；它们都导致同一个概念，这暗示着它应该是正确的概念（有点像可计算函数的概念，可以通过Turing机器，递归函数，Lambda微积分等来定义）。
• 它背后的数学理论非常好！参见三本优秀的著作《 Kolmogorov复杂性及其应用简介》（Li和Vitanyi），算法随机性和复杂性（Downey和Hirschfeldt），可计算性和随机性（Nies）。

Martin-Löf随机序列是什么样的？好吧，拿一个完美平衡的硬币开始翻转。每次翻转时，在头上写0，在头上写1。继续直到时间结束。这就是Martin-Löf序列的样子：-)

$\alpha$$\alpha$$\alpha$$\alpha$$k$$a_k$$\alpha$$k$$2^{-k}$$U_k$${\alpha}$

$\alpha$$\beta$$\alpha$$n$$n-O(1)$$\beta$$n$$\alpha$

好的，现在是约瑟夫问题的“编辑”部分：是这样的情况：具有访问纯随机性源（预言）的TM可以计算经典TM不能计算的函数吗？

$f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$$f$$n$$n$

$f$$f$$n$$n$$f$$\epsilon >0$$\sigma$$\sigma$$f$$\sigma$

为了回答您的问题，“可能可计算”和“有效可计算”之间可能有所区别。如果一个人将“随机过程”定义为“一个无法预测的过程，无论我们拥有什么资源”，而一个人将“确定性过程”定义为“可预测的过程”，则要获得（可能是很多）资源的输入和访问， “那么图灵可计算函数就不可能是随机的，因为如果我们了解图灵机并对其进行仿真，我们就可以始终预测该过程的下一个“实验”的结果。

在此框架中，马丁-洛夫检验可以看作是确定性过程，而随机序列的定义恰好是其行为无法通过任何马丁-洛夫检验/图灵可计算/确定性过程预测的序列。

但是，这引出了一个问题：“在现实生活中，随机序列是否可以有效计算？” 实际上，这里有一个行业。已发布的CD上有数十亿个随机（？）位，用于执行物理系统的计算机模拟等。这些CD保证其位序列可以通过一堆Martin-Lof测试。《醉汉之行：随机性如何统治我们的生活》一书对此问题进行了流行科学解释。

无关紧要：我喜欢你的专栏。:-)

直观上，“随机”表示“不可预测”，并且可以通过运行图灵机预测由图灵机生成的任何序列，因此图灵机不能生成“真正随机”的数字。随机序列有很多形式上的定义（当字符串的长度达到无穷大时，随机性才真正有意义），所有这些基本上都是等效的。其中最自然的可能是Martin-Lof随机性，这意味着一个序列通过了所有可能的随机性统计计算，而Chaitin随机性则意味着所有初始子序列都是不可压缩的（更具体地说，Kolmogorov的复杂度很高）。在这两个定义中，生成随机序列并识别它们都是无可争议的。请参阅“信息和随机性：

当然，任何考虑产生随机数的算术方法的人都处于犯罪状态。因为，正如多次指出的那样，没有随机数之类的东西，只有产生随机数的方法，严格的算术过程当然不是这样的方法。—约翰·冯·诺依曼

似乎没有人回答您的附录，因此我将对此进行尝试：

如果我可以在此附录中稍微扩展一下这个问题：是一种可以访问纯随机性源（TM）的TM可以计算传统TM无法实现的函数吗？

我将尝试使问题更精确，然后回答。（尽管我的版本可能与您的想法不符，所以如果不是，请告诉我。）

我们有一个确定性TM，可以访问随机数生成器。现在，该TM以某种方式利用随机数生成器来计算某些函数（实际函数，即从输入空间到输出空间的确定性映射）。

那么具有随机性的TM是否允许出错？如果不是，那么DTM不管提供了什么随机位，都必须给出正确的答案。在这种情况下，不需要随机位，因为您可以将随机字符串设为00000 ...

$f_i(x,r)$$f_i$$r$

关于您的“编辑问题”：如果您要询问可计算性或复杂性，那将有很大的不同。如果TM上存在复杂性界限，那么您将获得所谓的随机预言模型。如果TM可以使用任意大但有限的资源，那么您将处于相对随机的世界：甲骨文具有随机性等级，与图灵度一样。（观点：Koblitz和Menzes的（其中）著名的批评之一是关于随机Oracle模型的使用，因此您的元问题正在引起最近的学术争论。）

我仍在尝试理解您修改后的问题，尤其是您对TM的限制。因此，尽管此答案可能无法完全满足您的要求，但也许会有所帮助。

我们知道，存在一个无条件的不可能结果，即用确定性地将凸形体的体积近似于次指数因子（这是Bárány和Füredi的古老结果）。相反，我们可以使用采样获得针对此问题的FPRAS。这是您要寻找的分离示例吗？