有界深度概率分布

关于有限深度计算的两个相关问题：

1）假设您以n位开始，并且以位i开始可以独立于0或1，并且概率为p（i）。（如果使问题更简单，我们可以假定所有p（i）均为0,1或1/2。~~甚至都是1/2。~~）

现在，您需要进行无数次的计算。在每个回合中，您对不相交的位集应用可逆的经典门。（修复您最喜欢的一组通用经典可逆门。）

最后，您将获得n位字符串上的概率分布。是否有限制这种分布的结果？

我正在寻找类似于Hastad交换引理，Boppana的结果，即总影响较小或LMN定理。

2）与1）相同的问题，但具有有限深度量子电路。

— 吉·凯莱（Gil Kalai）
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我可能会遗漏一些东西，但是问题1并非所有等于琐碎吗？您从的均匀分布开始，在双射下不变。

p (i)

$p(i)$

1 / 2

$1/2$

{0, 1}^{n}

$\{0,1\}^n$

— 克劳斯·德拉格

以下是对您的问题的有用转换吗？将您的输入（向量）转换为长度的向量，该向量表示长度为二进制字符串上的概率分布。现在，任何计算都是作用在（例如）左侧的方型随机矩阵，以在长度为输出字符串上产生概率分布。WLOG我们可以假设所有条目都是二进制的。唯一的问题是，可以通过我们的基本矩阵（可逆门）的有限数量的矩阵乘法生成的随机二进制矩阵的类别是什么。

p_{0}, p_{1}, \dots

$p_0,p_1,\dots$

2^{n}

$2^n$

n

$n$

n

$n$

— usul 2012年

抱歉，我应该更精确。这里的基矩阵不是可逆门，而是一组并行作用的可逆门，在我看来，给定一组门，这种矩阵看起来是什么样子。

— usul 2012年

这两个答案都应该得到赏金，我将看看我能做什么

— 吉·凯莱

您所说的“不相交集”是什么意思？

— vzn

Answers:

Emanuele Viola等人发表了一些相对较新的论文，这些论文涉及采样分布的复杂性。他们专注于有限的计算模型，例如边界深度决策树或边界深度电路。

不幸的是，他们没有讨论可逆门。相反，通常会损失输出长度。但是，这些论文可能是一个很好的起点。

边界深度电路无法采样良好代码

发行的复杂性

— 马西莫·劳里亚
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非常感谢，Massimo！这看起来很相关。

— 吉·凯莱

（同样，我对不可逆转的案件也很感兴趣。）

— Gil Kalai

简短的答案。

对于量子电路，至少有一个非局限性结果：即使对于多项式深度经典电路，任意有限深度的量子电路也不大可能在结果概率上用很小的乘法误差来模拟。

$\mathsf{QNC^0}$

细节

我们可以考虑Fenner等人给出的多对数深度量子电路的定义。（2005）：

$\mathsf{QNC^k}$ $\{C_n\}_{n\geqslant0}$ $p$ $C_n$ $n$ $p(n)$ $O(\log^k(n))$

单量子位门必须来自固定的有限集，尽管这足以将恒定数量的量子位上的任何固定unit模拟为任何固定精度。我们还允许电路末端的量子位的任何子集用于表示电路系列的输出（例如，用于布尔函数的单个量子位）。

Bremner，Jozsa和Sheppard（2010）指出（请参阅第4节），由于使用了Terhal和DiVincenzo（2004）提出的门传送技术，对电路可以确定。使用他们的结果模拟后选电路，这意味着经典的问题是从任意布尔输出的电路的输出分布中采样，采样概率最多为。除非多项式层次结构部分崩溃（特别是多项式分层结构，否则使用随机多项式深度电路是不可能的） $\mathsf{QNC^0}$ $\mathsf{PostBQP = PP}$ $\mathsf{QNC^0}$ $\sqrt 2$ $\mathsf{PH} \subseteq \Delta_3$ ）。

— 尼尔·德·波德拉普（Niel de Beaudrap）
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亲爱的尼尔，非常有趣！谢谢！我对发行版特别感兴趣。您能否解释为什么“这当然不会告诉您...”？

— 吉·凯莱

通过PostQNC⁰= PostBQP = PP保持常数因子不可逼近结果。后选择在这里用于“强制成功”一长串隐形传送，以通过概率极低但非零的事件为条件的量子常数深度分布来模拟量子多深度分布。对于多深度电路，任何近似的恒定因子也将适用。但这并没有告诉您，例如，绝对（渐近）术语中，集中（或可以投影到）任何特定子空间上的幅度的上限。

— Niel de Beaudrap 2012年