概率图灵机能否解决停机问题？

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拥有无限个真正随机比特流的计算机比没有计算机的计算机更强大。问题是：它足以解决暂停问题吗？

也就是说，概率计算机可以确定确定性程序是否暂停？

概率计算机无法完成确定性操作的示例：考虑一个小的程序（长度小于一千字节），该程序输出的字符串的Kolmogorov复杂度大于千兆字节。该柯尔莫哥洛夫复杂性字符串的长度是产生该字符串的最短确定性程序的长度。因此，根据定义，确定性程序无法生成复杂度大于其自身长度的字符串。但是，如果给定无限量的真正随机比特流，那么一个小型程序就可以通过简单地回声（例如100亿个随机比特）并希望这些比特的Kolmogorov复杂度足够高来成功完成99.99999 ...％的任务。因此，产生一串优越的Kolmogorov复杂度在概率程序的可能性范围之内，但对于确定性程序则根本不可能。

就是说，我想知道是否有可能使用真正的随机位来对停顿问题进行钢锯。例如，一种算法可能会随机生成定理并证明/证明/放弃它们，直到它知道足以证明/证明给定的确定性程序停止为止。

computability randomness turing-machines

— 乔伊·亚当斯（Joey Adams）
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@downvoter：如果没有评论，这应该不会收到反对。

— 戴夫·克拉克

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是什么阻止确定性TM枚举所有情况？在这里，检查猜测是问题，而不是猜测本身。还要注意，如果仅以概率创建所需的结果，就不能说您实际上更强大。

p < 1

$p<1$

— 拉斐尔

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“确定性程序无法生成复杂度大于其自身长度的字符串。” 其他确定性机器输出相同的输出就足够了。请注意，确定性TM不仅可以模拟概率性TM，而且甚至可以模拟非确定性TM（具有任意数量的交替）。

— 卡夫

昨天我要说的是-看着Kaveh等人-这对于这个站点来说是一个太基本的问题（对于NTM的相同问题是每个第一门理论课程的基本结果）。鉴于花了相当大的努力来使“概率TM”正式化，我很高兴没有这样做。

— 拉斐尔

1

而看到明确的答案我先前的相关TCS问题：cstheory.stackexchange.com/questions/1263/...

— 约瑟夫·奥罗克

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编辑：我只是意识到我写的一些东西完全是胡说八道，对此感到抱歉。现在，我更改了证明，使我使用的概率机器的定义更加精确。

我不知道我对您对概率图灵机的定义是否正确：这是一台带有附加磁带的机器，上面写有无限不可压缩的字符串，此外，它还像确定性机器一样工作？如果我们修复了不可压缩的字符串，那么我们得到的类似乎并不有趣。

我认为我们可以通过几种方式定义概率图灵机。我会用这似乎是很自然的定义（和我的哪些证据工程;）让我们定义一个概率机这样的：它会在一些无限的字串被写入附加的磁带，我们说，这台机器决定语言如果每个它停止，并用概率接受 $L$ $x \in L$ ，当概率被接管这些附加随机串，并为每它停止，并用概率废品 $>\frac{1}{2}$ $x \not \in L$ 。 $>\frac{1}{2}$

现在我们将显示，如果存在这样一种概率机器，它可以解决确定性机器的停机问题，那么我们可以使用它来构建确定性机器，该机器可以解决确定性机器的停机问题-并且我们知道这样的机器不存在。 $P$ $H$

假设存在这样的我们可以构建确定性机器的是作为输入概率机一些输入，其 $P$ $M$ $R$ $x$

当且仅当接受时才暂停并接受（即在超过一半的随机字符串上暂停并接受）。 $R$ $x$ $R$ $x$
当且仅当拒绝时才暂停并拒绝（即暂停并拒绝超过一半随机字符串的）。 $R$ $x$ $R$ $x$
否则循环

基本上，将所有模拟上输入和从每一个串为对字符串的前缀的随机胶带。现在： $M$ $i \in 1, 2, ...$ $R$ $x$ ${{0,1}}^i$ $R$

如果暂停并接受个长度为前缀，而不会尝试从随机磁带中读取超过比特的信息，暂停并接受 $>\frac{1}{2}$ $i$ $R$ $i$ $M$
如果个长度为前缀被暂停并拒绝，而没有尝试从随机磁带中读取超过比特，暂停并拒绝 $>\frac{1}{2}$ $i$ $R$ $i$ $M$
否则，用进行仿真。 $M$ $i := i+1$

现在我们必须说服自己，如果以概率接受（拒绝） $R$ $x$ ，那么对于某些，它将接受（拒绝） $p >\frac{1}{2}$ $i$ 随机字符串的长度的前缀，而不会尝试从随机磁带中读取超过位的信息。这是技术性的，但是很容易-如果我们以其他方式假设，那么接受（拒绝）的概率接近 $>\frac{1}{2}$ $i$ $i$ 随着达到无穷大，因此对于某些来说，它必须是 $p >\frac{1}{2}$ $i$ $i$ 。 $p >\frac{1}{2}$

现在，我们只需定义确定性机器解决停止问题（即确定给定的确定性机器是否接受给定的单词）a为。请注意，总是停顿，因为我们的概率机器决定语言的定义是总是出现这两种情况之一： $H$ $N$ $x$ $H(N,x) = M(P(N,x))$ $M(P(N, x))$

机器停止并接受一半以上的随机字符串
机器停止并拒绝一半以上的随机弦。

— 卡罗琳娜（KarolinaSołtys）
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感谢您阐述我的“仅列举”评论！;）两项技术评论：在第一点，您的意思是

？最后，您的意思是

？

> 2^{i - 1}

$>2^{i-1}$

S (Q)

$S(Q)$

— 拉斐尔

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请注意，如果您不要求P总是停止，那么即使构造确定性图灵机P 也很简单，该确定性 P可以接受且仅当给定确定性Turing机停止时才接受。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）2010年

你的假设是什么？除非保证最终停止运行，否则您不能否定概率性图灵机。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）2010年

停止概率接管附加字符串AND输入的单词，或者是什么？

— M. Alaggan

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@Mohammad ALAGGAN：不，这部分是正确的：概率仅覆盖附加字符串（指定硬币翻转的结果）。因为我们没有假设输入字符串上有任何概率分布，所以输入字符串上的概率没有得到很好的定义。即使定义了输入字符串上的概率分布，输入字符串上正确答案的高概率也仅暗示该算法对于大多数输入都是正确的，这与对算法的通常要求不同。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）2010年

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这取决于您通过概率算法确定某些谓词的意思。

有一个简单的概率算法P，对于确定性图灵机M，

如果M暂停，P（M）以非零概率接受，
如果M不停止，P（M）永不接受，并且
P（M）以每M的概率1暂停。

因此，在这种意义上，概率算法P解决了确定性图灵机的停机问题。（此处“ M暂停”表示“ 空输入时M暂停。”）

但是，如果您以任何明智的方式加强要求，就不可能再解决确定性图灵机的停机问题。例如，

如果您要求P（M）总是停止而不是仅以概率1停止，那么很明显可以通过确定性算法来模拟P。（请参阅Wikipedia，以了解“始终”和“概率为1”之间的区别。）
如果通过要求P（M）停止并严格给出错误答案来对错误范围进行严格限制，则每M的概率严格大于1/2 （即，您不在乎P（M）是否不会停止或停止，并且让步的情况下，剩下的错误答案），那么P可以通过确定性算法通过使用规定的参数模拟卡罗利纳Sołtys的答案。

因此，在这些意义上，概率算法不能解决确定性图灵机的停止问题。

— 伊藤刚
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原谅我的无知，但是“总是”停止和“以概率1”停止“之间”有什么区别？

— 罗伯·西蒙斯

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@Rob：我认为这是一个棘手的问题。考虑一个简单的概率图灵机，它只是反复抛硬币直到结果达到正面。图灵机停止运行，除非所有抛硬币都导致尾巴出现。因此，它以概率1停止，但并不总是停止。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）2010年

我在Wikipedia中找到了对“始终”和“概率为1”之间差异的解释，并在答案中添加了相同的链接。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）2010年

如果允许P（M）通过不停止而失败，那么我不知道如何进行确定性仿真。例如，假设您对一组长度为N的前缀字符串运行确定性仿真，并且经过一段时间后，少于50％的前缀已停止并给出了答案。您如何知道其余的前缀字符串是否仅需要更多时间返回答案，或者作为失败条件的一部分，它们是否全部陷入无限循环？如果是前者，您继续等待。如果是后者，则终止当前回合，然后再次对所有长度为N + 1的前缀运行。

— Mike Battaglia

但这是无法确定的，因为这是停顿的问题！我们无法知道图灵机是否会因这些输入而停止。

— Mike Battaglia

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$P$ $P$ $P$

我认为这就是拉斐尔发表评论的意思。

— 渣
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$A\subseteq\mathbb N$ $A$

de Leeuw，K.，Moore，EF，Shannon，CE和Shapiro，N。《概率机器的可计算性》，《自动机研究》，第183-212页。数学研究年刊，无。34.普林斯顿大学出版社，新泽西州普林斯顿，1956年。

G.麻袋，难解程度，普林斯顿大学出版社，1963年。

— 比昂·乔斯·汉森
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