有效计算的功能可作为Sarnak的Mobius猜想的反例

最近，吉尔·凯莱（Gil Kalai）和迪克·利普顿（Dick Lipton）都写了一篇不错的文章，内容涉及数论和黎曼假设专家Peter Sarnak提出的一个有趣的猜想。

推测。令为莫比乌斯函数。假设是一个函数与输入在二进制表示的形式，然后 $\mu(k)$ $f: \mathbb{N} \to \{-1,1\}$ $\mathsf{AC}^0$ $k$ $k$
$\sum_{k \leq n} μ (k) \cdot f (k) = o (n) .$ $\sum_{k \leq n} \mu(k) \cdot f(k) = o(n) \text.$

请注意，如果则我们有素数定理的等价形式。 $f(k) = 1$

更新：Ben Green在MathOverflow上提供了一篇简短的论文，声称可以证明这一猜想。看一下纸。

另一方面，我们知道通过设置（稍作修改，使范围在 $f(k) = \mu(k)$ $\\{-1,1\\}$ ），所得到的总和具有估计有一个上限值，该可以被计算，所以提出了在约束在猜想不能放松到功能。我的问题是：

\sum_{k \leq n} μ (k)^{2} = Ω (n) .

$\sum_{k \leq n} \mu(k)^2 = \Omega(n) \text.$

μ (k)

$\mu(k)$

U P \cap c o U P \subseteq N P \cap c o N P

$\mathsf{UP} \cap \mathsf{coUP} \subseteq \mathsf{NP} \cap \mathsf{coNP}$

f (k)

$f(k)$

N P

$\mathsf{NP}$

什么是最低的复杂性类我们目前所知，使得函数在满足估计特别是，由于某些理论家认为计算不在，我们能否提供其他函数 $\mathsf{C}$ $f(k)$ $\mathsf{C}$
$\sum_{k \leq n} μ (k) \cdot f (k) = Ω (n) ?$ $\sum_{k \leq n} \mu(k) \cdot f(k) = \Omega(n) \text{?}$ $\mu(k)$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{P}$ $f(k)$ 这意味着总和呈线性增长？能否获得更好的界限？

— 张显之张显之
source

诸如P ^ {BQNC}之类的某些量子类也应该起作用，因为分解属于该类。

— 罗宾·科塔里

f (k) = k_{i}

$f(k) = k_i$

i

$i$

@Emanuele，好问题。k的二进制表示形式中的第i个比特的指示符函数是一个线性的“括号多项式”，但是它具有很高的系数，因此可能无法从Green-Tao定理得出Mobius函数与有界的相关性步nilequences。有界步零序列已将有界括号多项式作为特殊情况，但它们的结果可能会对系数的大小产生某些限制

— Luca Trevisan

f \in N C^{0}

$f \in NC^0$

f

$f$

{- 1, 0, 1}

$\{-1,0,1\}$

{- 1, 1}

$\{-1,1\}$