给定边界框中的随机自避免晶格循环

关于“ Slither Link”难题，我一直在想：假设我有一个的正方形单元格，并且我想找到一个简单的网格边缘循环，在所有可能的简单循环中均匀地随机分布。 $n\times n$

做到这一点的一种方法是使用马尔可夫链，其状态是正方形的集合，其边界是简单的周期，并且其过渡包括选择一个随机的正方形进行翻转，并在修改后的正方形组仍然具有简单的周期时保持翻转它的边界。一个人可以以这种方式从任何简单的循环过渡到其他任何循环（使用关于脱壳的标准结果），因此最终可以收敛到统一的分布，但是速度有多快？

或者，是否有更好的马尔可夫链，或选择简单循环的直接方法？

预计到达时间：请参阅此博客文章，获取用于计算我正在寻找的周期数的代码，以及一些其中一些指向OEIS的指针。众所周知，计数与随机生成几乎是一回事，我从这些数字的因式分解中缺乏任何明显的模式以及OEIS条目中缺乏公式的推断得出，不太可能存在已知的简单直接方法。但这仍然存在以下问题：该链融合的速度有多快，以及是否有更好的链开放性。

— 大卫·埃普斯坦
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OEIS序列计算的集合的边界不一定是简单的循环，例如对于3x3，218个中的一个具有除中间以外的所有正方形，另外四个则通过进一步去除一个角来给出。

— Colin McQuillan

对于2xn网格，数字如oeis.org/A059020所示。对于3xn，我非常确定它们是6,40,213,1049,5034,23984,114069,542295,2577870,12253948,58249011,276885683,1316170990,6256394122,29739651711,141366874247，...（不在OEIS中）。我设置了传递矩阵来手工计算，但将其与机器生成的矩阵进行了比较，唯一的区别是手是正确的而机器是错误的。（这应该在3x3的情况下显示-机器矩阵将允许一个在中央带有孔的octomino。）

— David Eppstein

您应该将该序列发送给Neil Sloane，以便他可以将其放入OEIS。

— 彼得·索尔

@David：谢谢。也许该是我更全面地学习转移矩阵方法的时候了。

— 冈本

@David：您刚刚把这个谜题链接浪费了我一生两个小时。

— domotorp 2011年

似乎因为您仅使用图形中循环数的计数来随机选择一个循环，所以如果对该数字具有随机近似值，则仍可以大致均匀地选择一个循环。

注意，循环的在一个曲线图中的数，其中包含边缘，等于周期的数量加上从简单的路径的数目到在。因此，利用 -路径数量的多项式时间近似值，可以一次递增地构建一个个边沿，随时间的推移近似地获得多项式时间近似值。 $G$ $(u, v)$ $G - (u, v)$ $u$ $v$ $G - (u, v)$ $u$ $v$ $G$

我实际上认为，有一种更直接的选择周期的方法。令为的正方形网格周围的整个边图。对于每个边缘找到包含边缘周期的数量（这是数量 -在路径 -）。然后随机选择一条包含该边缘的循环数加权的边缘。这将是您随机选择的循环中的第一个优势。所有其他边缘将通过一次扩展一个边缘来选择。 $G$ $n \times n$ $(u, v)$ $u$ $v$ $G$ $(u, v)$

假设您选择的路径是随机循环的一部分。令此路径上的顶点集为，令和为路径的端点。还要让为不在的的邻居集合（请注意，在此特定图中最多只有3个）。对于每个计数诱导图的 -路径数。然后，选择邻居，的加权路径刚刚计数。添加边 $C$ $v_s$ $v_e$ $N$ $v_e$ $C$ $u \in N$ $u$ $v_s$ $G[V - (C - \{v_s, v_e \} ) ]$ $u$ $v_e$ $(v_e, u)$ 到您选择的路径，将其扩展一。

这样，选择了多项式的边，每个边都需要对多项式时间近似算法进行少量计算。因此，可以均匀地选择一个周期。

我目前有一个stackexchange问题，要求提供有关快速路径计数近似算法的参考。我在一些地方读过这些算法存在，但尚未找到它们。

— 贝乔
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