低阶随机函数为实多项式

是否有（合理）的方式进行采样均匀随机布尔函数$f:\{0,1\}^n \to \{0,1\}$，其程度作为一个真正的多项式是至多$d$？

编辑：尼森和Szegedy表明程度的函数$d$最多取决于$d2^d$坐标，所以我们可以假设$n \leq d2^d$。我看到的问题如下：1）一方面，如果我们在$d2^d$坐标上选择一个随机布尔函数，则其度将接近$d2^d$，远高于$d$。2）另一方面，如果我们最多随机选择每个度系数$d$，则该函数将不是布尔值。

所以问题是：有没有一种方法可以对避免这两个问题的低阶布尔函数进行采样？

这是一种击败琐碎尝试的算法。

下面是一个众所周知的事实（练习1.12奥唐奈的书）：如果$f:\{-1,1\}^n\to\{-1,1\}$是具有度布尔函数$\le d$为多项式，那么每个傅立叶系数的$f$，˚F（小号）是的整数倍2 - d。使用Cauchy-Schwarz和Parseval，可以得出最多有4 d个非零傅立叶系数和∑ S |。ˆ$\hat{f}(S)$$2^{-d}$$4^d$$\sum_{S}{|\hat{f}(S)|}\le 2^{d}$。

这表明了一种抽样方法-

1. 选择随机非负整数$a_S$对所有套组$S\subseteq[n]$大小的至多$d$，其总和达到$\le 4^d$。
2. 设$f(x) = \sum_{S}{\frac{a_S}{2^d} \chi_S(x)}$。
3. 验证$f$为布尔值。如果是这样，则返回$f$。否则，返回$1$。

需要注意的是，每度$\le d$的多项式$f$恰好在步骤1中选择一个随机整数将生成多项式$f$。得到一个特定的程度的概率$\le d$多项式为 因此，我们期望在停止之前最多重复次此过程。

剩下的内容将显示如何执行步骤3。可以定义。检查（每个布尔函数应由Nisan-Szegedy持有），然后对变量的所有可能赋值求。这可以在时间。Gur和Tamuz为这项任务提供了更快的随机算法，但是由于这部分并不能控制时间复杂度，因此就足够了。$A = \bigcup\{S:a_S\neq 0\}$$|A| \le d 2^d$$f$$A$$2^{d 2^d}$

总体而言，该算法在时间产生一个多项式的随机样本。在的假设下，时间复杂度为。$\le d$$O(\frac{n}{d})^{d4^d}$$n \le d2^d$$2^{O(d^2 4^d)}$

这不是多项式时间采样算法，尽管它比对完全随机的函数采样要快得多（在这种情况下，获得特定次数多项式的概率为）。$\le d$$1/2^{2^n}$