的不可证明性的含义

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我当时在读“ P对NP是否正式独立？ ”，但我对此感到困惑。

在复杂度理论中，人们普遍认为。我的问题是关于这是否不可证明（在）。（假设我们仅发现独立于但是没有进一步的信息证明。） $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$ $ZFC$ $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$ $ZFC$

此声明的含义是什么？进一步来说，

硬度

假设捕获了有效的算法（Cobham–Edmonds论文）和，我们证明了结果暗示它们是超出了我们高效算法的当前范围。如果我们证明了分离，表示没有多项式时间算法。但是，如果分隔无法证明，则结果意味着什么？这些结果会怎样？ $\mathsf{P}$ $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$ $\mathsf{NP\text{-}hardness }$ $\mathsf{NP\text{-}hardness}$ $\mathsf{NP\text{-}hardness }$

高效算法

分离的不可证明性是否意味着我们需要更改有效算法的定义？

— 卡尔提克
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您需要问的第一件事是：正式独立于什么？在数学逻辑中，人们已经考虑了许多公理。默认值是ZFC，即带有选择公理的Zermelo-Fraenkel集合论。独立于ZFC的意思是无法从这些公理证明P = NP或P！= NP。

— 彼得·索尔

2

如果您想知道“无论X是否独立于公理系统Y”形式的陈述的证明是什么样的，为什么不阅读一些示例呢？选择公理与Zermelo-Fraenkel集合论的独立性是一个著名的例子。我投票决定关闭这不是一个真正的问题，但是我打算投票关闭该主题。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）

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您是否阅读了非常好的免费的Scott Aaronson论文？“ P与NP正式独立吗？” （scottaaronson.com/papers/pnp.pdf）

— 马兹奥德BIASI

2

问题“如果证明X独立于ZFC，我们有X Y 形式的一些定理，这些定理会发生什么？” 似乎是有条件的，并且我相信OP会问这个问题。答案似乎是：在某些公理系统中，例如ZFC + X，我们拥有Y，而在ZFC + X中，我们没有关于Y的信息。因此，这些条件定理仍然具有一定的价值。事实上，他们将有更多的价值在这种情况下比，如果 X将被证明是一个定理。

\to

$\rightarrow$

\neg

$\lnot$

\neg

$\lnot$

— 安德拉斯·萨拉蒙（AndrásSalamon）

2

P vs NP的ZFC不可证明性对集合论的影响可能比对复杂性理论的影响大得多。

— 大卫·哈里斯

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您的问题最好用以下措辞来表述：“发现P = NP在形式上独立于某些强公理系统的证据将如何影响复杂性理论？”

很难抽象地回答这个问题，即在没有看到证明细节的情况下。正如Aaronson在他的论文中提到的那样，证明P = NP的独立性将需要彻底的新观念，这不仅涉及复杂性理论，而且还涉及如何证明独立性陈述。我们如何预测根本无法预测的根本突破的后果？

不过，我们可以做一些观察。在从ZFC（后来又从ZFC +大红衣主教）证明了连续性假设的独立性之后，有相当多的人得出这样的观点，即连续性假设既不正确也不错误。我们可以问一问，在获得独立性证明后，人们是否也会得出类似的结论，即P = NP“不是真非假”（为争辩起见，假设P = NP被证明独立于ZFC +任何大数。红衣主教）。我的猜测不是。亚伦森基本上说他不会。Goedel的第二个不完全性定理并没有导致我认识的任何人争辩说“ ZFC一致”既不是真的也不是假的。语句，并且大多数人有很强的直觉，即算术语句（或者至少像“ P = NP”这样简单的算术语句）必须为真或假。独立性证明将被解释为说我们无法确定 P = NP和P NP中的哪个情况。 $\ne$

还可以问人们是否会把这种情况解释为是告诉我们我们对P和NP的定义有“错误”。也许然后我们应该用更易于处理的新定义重做复杂性理论的基础？在这一点上，我认为我们处于狂野而未果的投机领域，在这里我们试图跨越尚未到达的桥梁，并试图修复尚未破裂的事物。此外，甚至还不清楚是否有任何东西会在这种情况下被“破坏”。假设理论家认为很方便的话，他们会非常高兴。同样，在这个假设的未来世界中，复杂性理论家也可能非常乐意假设他们认为任何分离公理都是正确的，即使它们是无法证明的。

简而言之，从P = NP的独立性证明来看，逻辑上没有什么可遵循的。鉴于如此出色的突破，复杂性理论的面貌可能会发生根本性的变化，但是我们只需要拭目以待，看看突破是什么样子。

— 蒂莫西·周
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3

@vzn：您的示例不仅是“可以争论”的算术运算；毫无疑问，它们是算术运算。但是我不确定你的意思是。在ZFC中，采用具有“

无解” 的性质的二阶方程方程

我的观点是，我认识的每个人都相信

拥有解决方案或没有解决方案，而我们只是无法以一种或另一种方式证明它。您是否认为

是否具有解决方案没有问题

既没有解决方案又没有解决方案？

E

$E$

E

$E$

E

$E$

E

$E$

E

$E$

— Timothy Chow

4

@vzn：我想你完全错了。问题不是特定的陈述是否不可确定，而是它是否为真或假。这两个概念是完全不同的。例如，您是否会说ZFC既不一致又不一致？我认识的每个人（其他）都相信ZFC是一致的，或者不是，即使我们可能无法确定哪种情况是一致的。

— Timothy Chow

3

“对我来说，这听起来像是宗教，而不是数学。”-欢迎使用超数学。说“ X既不是真也不是假”的一种不太令人反感的方式是，我们没有先验的理由偏爱X为真的公理系统而不是X为假的公理系统。我们有一个（几乎）公认的算术标准模型；作为一种社会惯例，我们接受该模型中的真的，实际上是正确的算术语句。集合论不能这么说。

— Jeffε

2

另请参见consc.net/notes/continuum.html和mathoverflow.net/questions/14338/…-每个数学家的形式主义，柏拉图主义和直觉主义的个人混合本质上是一种宗教信仰。

— Jeffε

2

@vzn：您仍然错过了重点。即使我们授予您您的个人宗教信仰，您在说的就是您不会与亚伦森和世界其他地方一起宣布算术句子为真或假。我们都同意，无法通过声明的形式来判断它是否不可确定，但这不是要求。索赔的是，几乎每个人，除非你确实有很强的直觉是算术陈述是真或假。仅仅因为您不同意这种信念，并不意味着其他人没有信念。

— Timothy Chow

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这是一个有效的问题，尽管可能有些措辞不好。我能给出的最佳答案是此参考：

Scott Aaronson：P与NP在形式上是否独立。欧洲理论计算机科学协会，2003年，第1卷。81，第109-136页。

摘要：这是一个有关标题问题的调查问卷，专为那些（如作者）认为逻辑禁止，深奥且远离其通常关注的人而写。从有关Zermelo Fraenkel集理论的速成课程开始，它讨论了甲骨文的独立性。自然证明；拉兹伯勒夫，拉兹，德米洛-利普顿，萨赞诺夫等人的独立性结果；以及独立于强大逻辑理论证明P对NP的障碍。最后是关于何时应该期望数学问题给出明确答案的一些哲学思考。

— 安德烈·鲍尔（Andrej Bauer）
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2

嗯，我完全错过了评论中已经提到亚伦森论文的事实。我很抱歉。

— Andrej Bauer'2

7

正如Timothy Chow所解释的那样，仅知道一个定理与一个理论是独立的，就不会多说该陈述的真实性/虚假性。大多数非专家将固定理论（如）中的形式不可证明性与不可能知道对陈述的真实/虚假（或陈述的无意义）的答案相混淆。独立和形式上的不可证明性始终意味着理论中的独立性/不可证明性 $[ZFC][1]$ 。这仅意味着该理论既不能证明陈述也不能证明其否定。这并不意味着该陈述没有真理值，也不意味着我们不知道该陈述的真理值，我们也许能够添加新的合理公理，从而使该理论足够强大，从而能够证明陈述或否定。最后，理论中的可证明性是形式上的抽象概念。它仅作为模型与我们在现实世界中的经验有关。

$\mathsf{P}$

$\Sigma_1$ $\Pi_1$ 通过逻辑的拓扑 ”，1996年。）

$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$ $\Sigma_2$ ，并在FOM邮件列表中搜索帖子。

— 卡韦
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4

如本文所证明：

http://www.cs.technion.ac.il/users/wwwb/cgi-bin/tr-get.cgi/1991/CS/CS0699.revised.pdf

如果P！= NP可以证明独立于Peano算法，则NP具有非常接近多项式的确定性时间上限。特别地，在这种情况下，存在DTIME（n ^ 1og *（n））算法，该算法可在无限多个输入长度的巨大间隔上正确计算SAT。

— 阿维·塔尔
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对此有一些漫不经心的想法。随时批评。

令Q = [无法证明（P = NP）并且无法证明（P / = NP）]。假设Q为矛盾。我还将假设关于P与NP的所有已知发现仍然可行。特别是，所有NP问题都是等效的，即如果您可以在多项式时间内解决其中的一个，则可以在多项式时间内解决所有其他的问题。因此，让W为NP完全问题；W同样表示NP中的所有问题。由于Q，无法在多项式时间内获得求解W的算法A。否则，我们有证据表明P = NP，这与Q（1）（*）相矛盾。注意，根据定义，所有算法都是可计算的。所以说A不存在就意味着没有办法在多项式时间内计算W。但这与Q（2）相矛盾。我们只剩下拒绝（1）或拒绝（2）。两种情况都会导致积垢。因此Q是一个矛盾，

（*）您可能会说，“啊哈！一个可能存在，但我们找不到它”。好吧，如果存在A，我们可以通过从较小的程序到较大的程序（从空程序开始）枚举来遍历所有程序以找到A。A必须是有限的，因为它是一种算法，因此，如果A存在，则找到它的枚举程序必须终止。

— 托马斯·爱丁
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1

@Victor：好点。我想如果A存在，那么可以简单地分析每个枚举的程序，看它是否确实在多项式时间内解决了NP完全问题。我相信，由于人们正在使用一个有限的指令集（由某些通用计算机提供），因此可以识别A。但是我不是专家。

— Thomas Eding

1

问题是，如果Q为真，那么我们将陷入一种情况，即无论智能如何，都无法证明枚举器生成的特定算法X能够解决P = NP的问题。即，在这种情况下，可以找到确定是否存在P = NP的算法，但是无法分析证明其正确性。进一步说，“算法X是否可以解决P = NP问题？” 听起来非常不确定。

— 维克多·斯塔夫萨

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另外...如果存在A，则让N为A的大小。令T为所有大小为<= N的程序的集合。一个人可以同时对T中的所有A'运行W。随着每个A'终止，运行通过检查O是否解决W的程序输出O。（请注意，可以在多项式时间内验证NP完全问题的任何所谓“解决方案”。）如果O是正确答案，请关闭所有其他计算机并返回O。请记住，并非每个A'都必须终止，因为A是其中之一，并且将在多项式时间内输出正确的O。因此，甚至不需要证明A求解P = NP。根据定义，N存在。

— Thomas Eding

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在您的（*）部分中：“ A必须是有限的，因为它是一种算法，因此如果A存在，则找到它的枚举程序必须终止。” 这意味着枚举器应该能够以某种方式确定它刚生成的程序是否在多项式时间内解决了NP完全问题，这肯定是无法确定的（甚至更多，因为我们在这里假设Q），因此枚举器将永远不会停止。

— 维克多·斯塔夫萨

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“P = NP是独立于ZFC的”是不一样的，“我们无法找到一个算法来解决确定性多项式时间NP任何问题”，维克多指出。当处理诸如相对于理论的独立性之类的概念时，这些类的精确定义非常重要。

— 安德拉斯·萨拉蒙