自然定理仅被证明“具有很高的可能性”？

在很多情况下，随机的“证明”比确定性证明容易得多，典型的例子是多项式身份测试。

问题：是否存在已知随机证明但不确定性证明的自然数学“定理”？

通过陈述的“随机证明”，我的意思是 $P$

有一个随机算法，输入，如果为假，则产生确定性证明，概率至少为。 $n > 0$ $P$ $\neg P$ $1-2^{-n}$
有人已经针对运行了该算法，并且没有反驳该定理。 $n = 100$

生成适合的非自然语句很容易：只要选择仅知道高效随机算法的任何问题的大型实例即可。但是，尽管有很多带有“大量数字证据”的数学定理，例如黎曼假设，但我不知道有任何具有上述形式的严格随机证据的定理。

— 杰弗里·欧文
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@Kaveh：感谢类别更正。我不确定该怎么办。

— 杰弗里·欧文

另一个方向，研究“脱皮化”文学（也在寻找好的调查）。相对较新的（获奖的）Reingold定理是否也是这种情况（再次在证明之前）？

— vzn 2014年

那么，任何在ERH上使用确定性证明的问题（例如以前的Prime）都会具有此属性

— Suresh Venkat 2014年

我很遗憾地说，但我认为您的问题没有道理，因为不可能有任何这样的陈述，无论是否自然。您写道N曾经是一个很好的例子，但是（当然）一直都有关于素数的确定性证明，只是更长一点。我也无法想象您将如何定义应该证明一个修正声明的算法的成功概率。也许您想寻求一类问题的有效证明（即，输入将是P和n以及陈述P（n）），但随后我们到达了复杂性理论和BPP的定义。

— domotorp 2014年

domotorp：的确（假设算法使用有限数量的随机位），任何这样的随机证明都可以以一定的性能成本进行随机化。但是，我想问一些例子，在这些例子中，性能成本足够高，以至于到目前为止尚未运行确定性证明，而随机证明却已运行。我相信在这种情况下定义是有意义的。

— 杰弗里·欧文2014年

$\DeclareMathOperator{\inv}{inv} \DeclareMathOperator{\maj}{maj}$ 这不是您要的示例，但是它建议如何实现这样的示例。一些组合身份可以被编码为关于有界度多项式的身份。如果多项式是单变量的，则要证明同一性就足以在点上对其进行验证。但是，如果多项式是多元的，并且程度至少适中，则Scwartz-Zippel引理可能是验证身份的唯一实用方法。 $d$ $d+1$

有关单变量情况的示例，请查看Zeilberger的这篇文章，以解决Knuth的问题。他证明了有关排列统计的陈述。对于的置换，令为数字的反转，并让主要指数的是在该组所有整数的和。Zeilberger证明，对于所有，两个统计量的协方差为 $\pi \in S_n$ $\inv(\pi)$ $|\{(i, j): i < j, \pi(i) > \pi(j)\}|$ $\pi$ $\maj(\pi)$ $\pi$ $\{i: \pi(i+1) < \pi(i)\}$ $n$

E [(inv (π) - E [inv (π)]) \cdot (maj (π) - E [maj (π)])] = \frac{1}{4} (\binom{n}{2}),

$\mathbb{E}[(\inv(\pi) - \mathbb{E}[\inv(\pi)])\cdot(\maj(\pi) - \mathbb{E}[\maj(\pi)])] = \frac{1}{4}{n \choose 2},$ 其中，所有的期望超过一个均匀随机在。Zeilberger的证明仅仅是一个计算机验证，和观察该语句是等效于多项式之间的同一性至多度。

π

$\pi$

S_{n}

$S_n$

n \in {1, 2, 3, 4, 5}

$n \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$

n

$n$

4

$4$

— 萨肖·尼科洛夫（Sasho Nikolov）
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谢谢，那是一篇可爱的文章。我很喜欢道德。

— 杰弗里·欧文2014年