严谨导致洞察力

在MathOverflow上，蒂莫西·高尔斯（Timothy Gowers）提出了一个题为“ 证明严谨性很重要 ”的问题。讨论的大多数内容都是关于证明证据重要性的案例，CSTheory上的人们可能不需要说服他们。以我的经验，在理论计算机科学中，证明需要比在连续数学的许多部分中更为严格，因为对于离散结构，我们的直觉常常被证明是错误的，并且因为创建实现的动力鼓励了更详细的论证。数学家可能会对存在证明感到满意，但是理论上的计算机科学家通常会尝试寻找一种构造性证明。LovászLocal Lemma是一个很好的例子[1]。

因此，我想知道

在理论计算机科学中是否有特定的例子，其中经过严格证明的被认为是真实的陈述导致了对潜在问题本质的新见解？

最近一个并非直接来自算法和复杂性理论的例子是证明理论综合，即根据前后条件自动推导正确而有效的算法[2]。

• [1]罗宾A. Moser和加博尔·塔尔多斯，一般Lovász局部引理的构造性证明，JACM 57，第11条，2010年http://doi.acm.org/10.1145/1667053.1667060
• [2] SAURABH塔瓦，萨米特Gulwani和Jeffrey S.福斯特，从程序验证到程序合成，ACM SIGPLAN声明45，313-326，2010年http://doi.acm.org/10.1145/1707801.1706337

编辑：我想到的答案就像斯科特和马特斯的答案。正如Kaveh所建议的那样，这是人们想要证明的三倍（但这不一定是“物理”，“挥手”或“直觉”的论点所意外的），证明以及对“潜在问题”的后果然后从那出乎意料的证据中得出结论（也许创建一个证据需要出乎意料的新想法，或者自然而然地导致一种算法，或者改变了我们对这一领域的看法）。在开发证明时开发的技术是理论计算机科学的基础，因此，要保留这个有点主观的问题的价值，就应将重点放在个人经验上，例如斯科特（Scott）所提供的经验，或者是有参考文献支持的论点，就像成熟一样。而且，我 m试图避免争论某些事物是否合格；不幸的是，问题的性质可能本质上是有问题的。

我们已经对复杂性中的“令人惊讶”的结果存在疑问：复杂性中的令人惊讶的结果（不在“复杂性博客列表”上），因此理想情况下，我正在寻找针对严格证据的价值（不一定是突破的规模）的答案。

您可能已经知道，安德拉斯（András）有很多您所谈论的事例，几乎不可能知道从哪里开始！但是，我认为，如果人们从自己的经验中举一些例子，这一问题实际上是一个好问题，因为人们对其子领域广泛相信的猜想的证明导致了新的见解。

当我还是一个本科生时，我解决的第一个真正的TCS问题是：评估√n与√n布尔变量的OR最快的量子算法是什么？对于我和我与之交谈的其他所有人来说，这很痛苦，这是显而易见的，您能做的最好的事情就是将“格罗弗”算法递归地应用于“或”和“与”。这给出了O（√nlog（n））的上限。（实际上，您可以减少对数因子，但现在暂时忽略它。）

但是，令我极为沮丧的是，我无法证明任何下限都比琐碎的Ω（n ^1/4）更好。“前进的物理学家”和“挥舞着答案”看上去从未如此具有吸引力！:-D

但是，几个月后，安德里斯·安贝尼斯（Andris Ambainis）提出了他的量子对抗方法，该方法最初的主要应用是“与”门的Ω（√n）下界。为了证明这一结果，安德里斯（Andris）设想给量子算法提供不同输入的叠加。然后他研究了输入和算法之间的纠缠如何随着算法的每次查询而增加。他展示了这种方法如何通过仅使用量子算法试图计算的函数f的非常一般的组合特性，使您甚至对“混乱”，非对称问题也具有较低的量子查询复杂度。

这些技术不仅证实了一个令人烦恼的问题的量子查询复杂性是每个人的期望，而且还证明了自Shor和Grover算法以来量子计算理论的最大进步之一。从那时起，它们已被用来证明其他数十种量子下界，甚至被重新用于获得新的经典下界。

当然，这是“在数学和TCS精彩世界中又一天”。即使每个人都已经知道X是正确的，要证明X经常也需要发明新技术，然后应用到X之外，尤其是对于先验正确答案不太明显的问题。

并行重复是我所在地区的一个很好的例子：

$L$$x$$q_1$$q_2$$a_1$$a_2$$a_1$$a_2$$q_1,q_2$$x\in L$$x\not\in L$$s$

$s$$1$$s = 10^{-15}$$k$$q_1^{(1)},\ldots,q_1^{(k)}$$q_2^{(1)},\ldots,q_2^{(k)}$$a_1^{(1)},\ldots,a_1^{(k)}$$a_1^{(1)},\ldots,a_1^{(k)}$$k$

$s^{k}$$k$$s^{\Omega(k/\log|\Sigma|)}$$\Sigma$

$\Sigma$$k$

然后，就有了可能的扩展：Anup Rao能够进行分析，以表明当原始证明系统是{\ em投影游戏}时，即，第一证明者的答案最多确定以下项的一个可接受答案：第二个证明者，根本不依赖字母，并且可以提高指数中的常数。这很重要，因为大多数近似结果的硬度都基于投影博弈，而独特博弈是投影博弈的特例。扩展器上的游戏也有定量的改进（Ricky Rosen和Ran Raz），等等。

然后，产生了深远的影响。仅举几个例子：来自Raz论文的信息理论引理在许多其他情况下使用（在密码学中，等效于采样和搜索等）。Holenstein使用的“相关采样”技术已在许多其他作品中使用（在通信复杂性，PCP等方面）。

需要另一个严格的（和新技术）很好的例子来证明被认为是正确的陈述：平滑分析。有两种情况：

• 单纯形算法
• k-均值算法

$k$$O(n^{c \cdot kd})$$n$

我认为以下示例引发了很多研究，这些研究得到了您正在寻找的那种结果，至少如果我遵循您的LLL示例的精神。

罗伯特·沙皮尔 学习能力弱。机器学习，5（2）：197-227，1990。

$\epsilon>0, \delta>0$$1-\delta$$\epsilon$$\epsilon$$\delta$$\delta$$\delta$$\gamma$

无论如何，在Schapire发表论文之后，事情变得非常有趣。他的解决方案在原始类中产生了多数假设。然后来了：

Yoav Freund。多数情况下提高弱学习算法。信息与计算，1995，121（2）：256--285。

本文对沙皮尔的结果进行了“验证”，但是现在构造的假设仅使用了一个多数。沿着这些思路，然后两个人又提出了另一种指责，称为AdaBoost：

Yoav Freund和Robert E. Schapire。在线学习的决策理论概括及其在促进学习中的应用。计算机与系统科学学报，55（1）：119-139，1997。

弱/强学习问题最初是从理论上开始关注的，但是这种“责备”序列产生了漂亮的算法，这是机器学习中最有影响力的结果之一。我可以在这里切线，但是会约束自己。在TCS的情况下，这些结果在（1）乘法权重算法和（2）硬核设置结果的背景下令人振奋。关于（1），我只是想澄清一下，AdaBoost可以看作是Warmuth / Littlestone（Freund是Warmuth的学生）的乘重/ Winnow工作的一个实例，但是在提升方面有很多新见解。结果。关于（2），我

为了历史上的准确性，我还应该说我被引用的日期可能不是某些人所期望的，因为其中一些是较早的会议版本。

回到您问题的本质。这里“严谨”的关键价值在于提供一个供人们学习的假设类（相对于原始假设类的加权多数）和找到它们的有效算法。

这个例子符合达娜和斯科特的答案。

$n$$d$$d$$2^{n-1}$$d$$2$$n^{1/(d-1)}$$2^{n^{1/(d-1)}}$$1$$n^{1/(d-1)}$$d-1$$2^{n^{1/(d-1)}}$$2^{n^{1/(d-1)}}$$d$$2^{O(n^{1/(d-1)})}$

$d$$AC^0$

拉斯博罗夫（Rasborov）和鲁迪奇（Rudich）的论文“自然证明”（Natural Proofs）提供了一个严厉的证据，证明了痛苦的显而易见的陈述（确实很难证明P≠NP）。

自50年代以来，甚至更早以前，就提出了一些算法问题需要成倍数量的步数或对所有可能性进行详尽搜索的想法。（当然，竞争激烈的天真想法是计算机可以完成所有事情。）Cook和Levin的主要突破是将这一想法置于严格的基础上。当然，这改变了一切。

更新：我刚刚意识到，我的回答就像“土耳其斯坦”的好答案一样，是针对“导致洞察力的严密性”问题的标题，但不是针对“针对定理的严格证明”的具体措词。

Alan Turing使用Turing机器形式化了算法（有效可计算性）的概念。他使用这种新形式主义来证明Halting问题是无法确定的（即Halting问题无法用任何算法解决）。这导致了漫长的研究计划，这证明了希尔伯特第十个问题的不可能。Matiyasevich在1970年证明，没有算法可以确定整数Diophantine方程是否具有整数解。