证明，障碍和P vs NP

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众所周知，解决P vs NP问题的任何证明都必须克服相对化，自然证明和代数化障碍。下图将“证明空间”划分为不同区域。例如， $RN$ 对应于相对化和归化的证明集。 $GCT$ （几何复杂性理论）当然是严格的外部区域。

列出一些证明以及它们所属的最著名区域。以最佳方式放置它们，即，如果已知证明可以相对化，归化和代数化，则应将其放置在而不仅仅是。如果证明相对化但不自然化，则它属于，依此类推。 $RNA$ $RN$ $R$ ${\setminus}$ $N$

替代文字

— 湿婆金塔利
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但是，有没有已知的有效证据证明P vs NP？

— gphilip 2010年

2

我确实认为这是一个经典的CW问题。

— Suresh Venkat 2010年

@gphilip我们通常讨论的是复杂性理论中的下界证明。

— 希瓦·金塔利

@Suresh在这些区域放置证明非常重要。张贴答案的人（当然要以高票通过）应获得奖励，因为他们对这些障碍的了解和理解。你怎么看？

— 希瓦·金塔利

阅读以下Suresh的答案后，我认为我有一个问题（如果我错了，请纠正我）：您正在寻找以下形式的分类：“如果解析P 对 NP 的证明具有属性X，则它属于区域X中的区域Y。图片。” 在Suresh的答案中，X是“交互式的”，而Y在R之外，也可能在N之外。

— gphilip 2010年

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我认为您需要重绘维恩图...相对化的复杂性类中的任何约束也将被代数化，至少在Aaronson和Wigderson的意义上。也就是说，访问Oracle的“低度扩展”仅比访问Oracle更强大。类似地，任何表明分隔需要“非相对化”技术的预言都意味着还需要“非相对化”技术。

— 瑞安·威廉姆斯（Ryan Williams）
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嗨，瑞安，我使图表保持简单，以便我们也可以讨论这些区域的“崩溃”。例如，你的回答可以重新表述为“

在阿伦森-Wigderson的感觉”。

R \subseteq A

$R \subseteq A$

— 希瓦·金塔利

4

瑞安所说的只是为了遏制。像P = NP这样的结果意味着P = PH相对化了，但是没有代数化。

— Lance Fortnow

@Lance：感谢您的澄清。因此，将图表保持原样是有意义的。

— 席瓦·金塔利

3

我现在刚刚看到了……实际上，Scott和Avi也给出了一些“代数化”的含义。他们的概念肯定以包含相对化的方式定义。（对于含义兰斯引用，他们可能会说，algebrizing含义是“

意味着

。”）

P^{\tilde{A}} = N P^{\tilde{A}}

$P^{\tilde{A}} = NP^{\tilde{A}}$

P H^{A} \subseteq P^{\tilde{A}}

$PH^{A} \subseteq P^{\tilde{A}}$

— 赖安威廉姆斯

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与该主题前面的某些主张相反，在Aaronson＆Wigderson意义上的代数化并未包含相对化。例如，

\begin{matrix} (†) & (\exists C : C \subset N E X P \land C ⊄ P / p o l y) ⟹ N E X P ⊄ P / p o l y \end{matrix}

$\tag{$\dagger$}(\exists \mathcal{C}: \mathcal{C} \subset \mathsf{NEXP} \wedge \mathcal{C} \not \subset \mathsf{P/poly})\implies \mathsf{NEXP} \not\subset \mathsf{P/poly}$

是相对化的陈述。（实际上，它具有相对论性的证明，对读者可能意味着任何意义。）但是，正如Aaronson＆Wigderson自己在其论文[1]的第10.1节中所提到的那样，它并不被代数化。（因此，尽管AW告诉我们的是，上述图中必须位于外，可以想到的是躺在里面！） $\mathsf{NEXP} \not\subset \mathsf{P/poly}$ $\mathrm {A}$ $\exists \mathcal{C}: \mathcal{C} \subset \mathsf{NEXP} \wedge \mathcal{C} \not \subset \mathsf{P/poly}$

然而，埃里克·巴赫（Eric Bach）和我本人[2]最近的一项工作给出了代数化的表述，它确实包含了相对化。基本上，如果我们取一个代数预言的AW概念---表示为对于一些语言 ---并明智地修改它的话，可以消除疾病，如的上方。 $\tilde O$ $O$ $(\dagger)$

结果是，在适当定义的情况下，代数化是相对于代数预言的相对化---代数相对化，其中每个预言都有“摆动” ---这意味着是的空集因此，也是如此。 $\mathrm{R} \setminus \mathrm{A}$ $\mathrm{RN}$

[1] http://www.scottaaronson.com/papers/alg.pdf
[2] http://eccc.hpi-web.de/report/2016/040/

PS：早期的Impagliazzo，Kabanets和Kolokolova提出了另一种代数公式，该公式也将置于，但不如AW那样强大。请参阅我与Eric的论文以进行比较。 $\mathrm{R}$ $\mathrm{A}$

— BarışAydınlıoğlu
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谢谢巴里斯。我很高兴有人终于找到了代数化的概念，正式地做了我们认为应该做的事情：）

— Ryan Williams

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在时间和空间层次定理相对化。它们是统一的，因此它们似乎不会归化。

我认为间接对角化的结果类似于Lance Fortnow等人的TimeSpace下界。而且瑞安·威廉姆斯（Ryan Williams）的结果并不相对，因为它们不是黑匣子（但我对此不确定）。由于它们使用层次定理，因此证明似乎不自然。

$TC^0$

— 卡韦
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7

交互式证明不会相对化。我认为它们是统一的，因此不自然。

— 苏雷什·文卡特（Suresh Venkat）
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