计算图的边缘覆盖数的复杂性

一个边缘盖是一个图的边的子集，使得该图的每个顶点是邻近所述盖的至少一个边缘。以下两篇文章说，计数边缘盖是#P -complete：计数边缘覆盖一个简单FPTAS和路径图的生成边缘覆盖。但是，除非我错过了任何事情，否则他们不会为该主张提供参考或证明。（第一篇论文的参考文献3很有希望，但我也没有找到我想要的东西。）

我在哪里可以找到参考或证据，即对图形的边缘覆盖数进行计数是#P完全的？

— 3纳米
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Answers:

我不知道这是在哪里首次证明的，但是由于EdgeCover具有作为布尔域Holant问题的表达式，因此它包含在许多Holant二分法定理中。

EdgeCover包含在（1）中的二分定理中。定理6.2（在日记本版本或预印本中的定理6.1）显示EdgeCover在平面3正则图上是＃P-hard。看到这一点，如超过3正则图一Holant问题表达为EdgeCover是（或替换与包含正则图）。这个 $\operatorname{Holant}([0,1,1,1])$ $[0,1,1,1]$ $[0,1,\dotsc,1]$ $k$ 1点的用于在同样的问题 $k$ 符号列出了一个的输出对称函数在输入汉明权重的顺序。对于该组的边缘（我们认为作为被分配1和补集被分配0的）的一些子集，在每个顶点的约束是，至少一个边缘被分配1，这是完全功能什么。对于边缘的固定子集，其重量的输出的乘积 $[0,1,1,1]$ $[0,1,1,1]$ $[0,1,1,1]$ 在每个顶点。如果没有覆盖任何顶点，则其贡献系数为。如果所有顶点都被覆盖，则所有顶点的因数为，因此权重也为。然后，Horant将对边缘的每个可能子集求和，并添加与每个子集相对应的权重。如果我们细分每个边并施加约束，使得这些新顶点的两个入射边必须相等，则Holant值完全相同。使用对称函数表示法，该二进制平等功能是。该图是二部图。在一个部分的顶点具有 $0$ $1$ $1$ $[1,0,1]$ 的约束而在另一个部分中的顶点在所述 $[0,1,1,1]$ 的约束。作为Holant问题这个表达式为。然后你可以自己查一下该行“ ”和列“ $[1,0,1]$ $\operatorname{Holant}([0,1,1,1]|[1,0,1])$ $[0,1,1,1]$ $[1,0,1]$ 上面引用的定理附近的表格的“ ”包含“ H”，这意味着问题是＃P-hard，即使输入图必须是平面的。

旁注：请注意，Pinyan Lu是本文和您引用的第一篇论文的作者。我猜想，当他们的论文说“即使将输入限制为3个正则图时，计算边缘覆盖率也是一个#P完全问题”，他们隐式引用（1）。他们可能没有提到硬度，当进一步限制为平面图时，硬度也保持不变，因为他们的FPTAS不需要此限制。

后来的Holant二分法定理，例如（2,3）中的那些定理（同一工作的会议和期刊版本），证明了更多。定理1（在这两个版本）指出，EdgeCover是＃P-硬过平面为-regular图表。要看到这一点，我们需要应用全息变换。如上所述，作为一个Holant问题表达为EdgeCover超过 -regular图表是，其中，包含 $k$ $k \ge 3$ $k$ $\operatorname{Holant}([0,1,\dotsc,1])$ $[0,1,\dotsc,1]$ $k$ 1。进而，这相当于。现在我们通过应用全息变换 $\operatorname{Holant}([1,0,1]|[0,1,\dotsc,1])$ $T = \begin{bmatrix} 1 & e^{\pi i / k} \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ （或其反函数，取决于您的观点）。根据Valiant的Holant定理（4,5），这不会改变问题的复杂性（实际上，这两个问题实际上都是同一个问题，因为它们在每个输入的输出上都达成了共识……只是问题的表达发生了变化）。此问题的替代表达式是

其中

Holant ([1, 0, 1] T^{\otimes 2} | (T^{- 1})^{\otimes k} [0, 1, \dots, 1]) = Holant ([2, e^{π i / k}, e^{2 π i / k}] | =_{k}),

$\operatorname{Holant}([1,0,1] T^{\otimes 2}|(T^{-1})^{\otimes k} [0,1,\dotsc,1]) = \operatorname{Holant}([2, e^{\pi i / k}, e^{2 \pi i / k}]|=_k),$

=_{k}

$=_k$ 是

k

$k$ 输入。要应用定理1，我们有正常化

到

由通过将原始功能

，由于该值是非零，其不改变该问题的复杂性。然后值

和

[2, e^{π i / k}, e^{2 π i / k}]

$[2, e^{\pi i / k}, e^{2 \pi i / k}]$

[2 e^{- π i / k}, 1, e^{π i / k}]

$[2 e^{-\pi i / k}, 1, e^{\pi i / k}]$

e^{π i / k}

$e^{\pi i / k}$

X

$X$

Y

$Y$ 定理陈述中的

和

。对于

，一个可以检查这个问题，所以由此EdgeCover为好，为＃P-硬过平面

为-regular图表

。

X = 2

$X = 2$

Y = - 2^{k} - 1

$Y = -2^k - 1$

k \geq 3

$k \ge 3$

k

$k$

k \geq 3

$k \ge 3$

旁注：在Michael Kowalczyk的论文中，也可以看到这个定理和证明。

我将继续我的文献搜索，以查看EdgeCover在（1）之前被证明是#P困难的。

（1）蔡金一，卢品言和夏明吉的全息图缩小，插值和硬度（期刊，预印本）。

（2）甲二分法用于 -Regular图形与 -点分配和实边功能 $k$ $\{0,1\}$ 由进易才和迈克尔科瓦尔奇克。

（3）在分区的功能 -Regular图形与 -点分配和实边功能 $k$ $\{0,1\}$ 由进易采和迈克尔科瓦尔奇克。

（4）Leslie G.Valiant的全息算法

（5）蔡金毅和Vinay Choudhary的Valiant的Holant定理和Matchgate张量

— 泰森·威廉姆斯
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哇，感谢您为我指出了这一点，并感谢您抽出宝贵的时间来解释词汇和与封皮的连接！我同意您的观点，（1）隐式证明EdgeCover很难（甚至对于3正则平面图也很难）。我也很想知道是否有人在（1）之前证明了EdgeCover的#P硬度，尽管我已经很高兴可以引用我是否需要使用此结果（这是我问时的主要关注点））。再次感谢您的回答！

— 2014年

@泰森·威廉姆斯（Tyson Williams）：如果从2-3-正则图开始并收缩2度分区的节点，那么最终可能会得到3正则多图，即具有平行边。可以将其固定为在3个规则的简单图形上显示硬度吗？更笼统地说，可能会询问有关Holant问题的所有结果的问题，因此我在这里cstheory.stackexchange.com/q/43912/38111创建了一个新问题，因为我认为问题不限于此特定问题（计算优势）盖子）。如果您能看一下，我将非常高兴：)

— M.Monet

是啊。好观察。我现在不记得简单图形有什么结果。

— 泰森·威廉姆斯，

@TysonWilliams：感谢您的确认，不用担心！在我的社区中，“图”始终表示“简单图”，除非另有说明，因此我在问题中没有明确说明。

— a3nm

@TysonWilliams：毕竟，我们已经找到了如何通过全息方法在计算简单图形（2-3个规则的二分图和平面图）的边缘覆盖物时获得硬度结果。详细信息在下面我的答案的最新版本以及arxiv.org/abs/1703.03201的附录D中。我们使用从xia2006regular生成的3个正则二分平面图上计算顶点覆盖的难度：这些图没有自环，我们将每个边细分为可去除平行边的内容，而cai2008全息图不会产生问题。（至于3个正则图，就像您回答的那样，我们不知道。）

— a3nm

经过更多的文献搜索后，似乎在bordewich2008path附录A.1中，对图中的边沿进行计数的复杂性显示为＃P-complete。。（这假定任意图作为输入，即它们不能对输入图执行任何假设，除非它们观察到最小度可以任意增大）。（bordewich2008path进一步表明该结果在bubley1997graph中没有得到证明。）该结果早于Cai，Lu和Xia的研究，在Tyson Williams的回答中被称为（1），并且不依赖于全息理论。

具体而言，结果依赖于对以greenhill2000复杂度显示的3个正则图中的独立集合进行计数的#P硬度（改进了vadhan1997复杂度显示的至多4个度数图的类似结果），并使用bubley1997graph技术证明了该结果。

在khanna2011查询附录B.1中再次独立地研究了一个更强的结果，即在二分度的二部图中最多计算四个边缘图的边缘覆盖的硬度（进一步表明边缘集可以划分为四个匹配项），同样没有全息工具。。他们依靠在3个规则的二部图中对独立集合进行计数的难度（通过对vadhan1997complexity的插值方法的改进，在xia2006上显示出规律），然后对bordewich2008path的技术进行改进。

甚至可以得到更强大的结果（在二分形2-3正则图中计数边缘覆盖的硬度，即在二分图中，一侧的所有顶点的度均为2，另一侧的所有顶点的度均为3，并且这是平面的）使用xia2006regular和cai2008holographic的结果显示。造成这种情况的解释出现的附录d 我们PODS'17纸的最新版本。在这种情况下，我们相当仔细地检查了结果是否适用于简单图，即对于没有自环或多边的图（请参见泰森·威廉姆斯答案的注释）。

对于平面三正则图的硬度，在泰森·威廉姆斯的答案中给出了一个论点，但似乎它允许图形中的多边和自环。

参考文献：

bordewich2008path：Magnus Bordewich，Martin Dyer，Marek Karpinski，使用停顿时间进行路径耦合并计算超图中的独立集合和着色，2008。
bubley1997图：Russ Bubley，Martin Dyer，无下沉的图取向和#SAT的硬情况的近似值，1997。在线似乎没有开放获取的版本。:-(
cai2008holographic：J。Cai，P. Lu，M. Xia， 全息缩小，插值和硬度，2008
greenhill2000complexity：Catherine Greenhill， 在稀疏图和超图中计算着色和独立集的复杂度，2000年
khanna2011查询：Sanjeev Khanna，Sudeepa Roy，Val Tannen， 概率数据库查询，2011年。
vadhan1997complexity：Salil P. Vadhan，稀疏，正则和平面图中计数的复杂性，1997年。一些结果可能最初出现在论文中，但我没有检查。
xia2006regular：夏明吉，赵文博，＃3-Regular Bipartite Planar Vertex Cover是＃P-Complete，2006。网上似乎没有开放获取的版本。:-(请注意，第一作者也是Tyson Williams的答案的（1）的作者。

免责声明：我只是对这些论文进行了肤浅的了解，但我不是该领域的专家，所以上面的总结可能有误。

感谢一位匿名的PODS'17裁判将我指向khanna2011查询，这促使我编写了此答案。

— 3纳米
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