次要排除图最容易实现什么？

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使用Jung / Shah的算法，在次要排除图形上，近似着色的数量似乎很容易。还有哪些其他问题在普通图上很难解决，而在次要排除图上很容易解决？

更新10/24 似乎遵循了Grohe的结果，即在有界树宽图上测试的FPT公式是在次要排除图上测试的FPT公式。现在的问题是-它与计数满足该公式的赋值的易处理性有什么关系？

上面的陈述是错误的。在有界树宽图上，MSOL是FPT，但是在轻微排除的平面图上，三色性是NP完全的。

ds.algorithms graph-theory graph-minor

— 雅罗斯拉夫·布拉托夫（Yaroslav Bulatov）
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已知的最普遍结果是Grohe。2010年7月提供了一个摘要：

Martin Grohe，带有未成年人的图的定点可定义性和多项式时间，LICS2010。（PDF）

简而言之，在定点逻辑中具有计数能力的任何语句在具有至少一个被排除的次要图的图类上均具有多项式时间算法。（FP + C是一阶逻辑，用定点运算符和谓词给出可定义顶点集的基数来扩充）。关键思想是，排除次要元素可以使类中的图具有有序的树状分解，这些分解可以在定点逻辑中定义（不计数）。

~~因此，可以通过考虑在FP + C中可定义但难以计数的属性来获得针对您的问题的大量答案。~~

编辑：我不确定这是否真正回答了您的问题，甚至对于您的更新也是如此。Grohe结果的指针和陈述是正确的，但我认为删去的文字与您的问题无关。（感谢斯蒂芬·克罗伊策（Stephan Kreutzer）指出这一点。）可能需要澄清：您是否想要一个计数问题，该问题通常很难解决，而对于次要类却很容易解决，或者是决策问题？

— 安德拉斯·萨拉蒙（AndrásSalamon）
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1

有趣的...我想知道这种树状分解对于平面图是什么样的

— Yaroslav Bulatov

2

我发现一个有用的定理是，属性是在FP + C中可表达的，前提是它可以在有界tw图上的多项式时间内确定。现在的问题是-FP + C决策问题的复杂性与模拟计数问题的复杂性如何相关？

— Yaroslav Bulatov

@Yaroslav：一旦写下来，您能提供参考吗？谢谢。

— gphilip

3

大声笑，我实际上并没有发现它，而是在Grohe的“逻辑，图形和算法”第2页上“找到了”

— Yaroslav Bulatov 2010年

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次闭合图族的一个有趣的特性是它们有界退化。这意味着在有限简并图上容易解决的所有问题在小封闭家族的图上都容易解决。

因此，例如，查找图形是否包含大小为k的团通常是一个难题，而最佳算法类似于。但是，如果我们知道简并性是一个常数，则可以在线性时间（即O（n）时间）中找到k形。维基百科有关集团问题的文章也提供了一些信息。（精确的运行时间类似于。）该算法由Chiba和Nishizeki提出。 $O(n^k)$ $O(k d(G)^k n)$

大卫·埃普斯坦（David Eppstein）在MathOverflow上的答案中也找到了其他示例，该问题类似于关于有限退化图的类似问题。

— 罗宾·科塔里（Robin Kothari）
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5

我的论文arxiv.org/abs/1006.5440在列出具有较低简并性的集团方面有一些较近期的结果，包括列出所有最大集团的运行时

稍好一些。

O (d n 3^{d / 3})

$O(dn3^{d/3})$

— David Eppstein

我看不到次要封闭的（您的答案）和次要排除的图（问题）之间的关系。所有完整图的集合也是次要封闭的，但它们不是有界退化的。

— 2013年

轻微关闭=轻微排除。所有非平凡的次要闭合图族都具有一定的退化性。我应该在原始声明中添加“平凡的”。

— 罗宾·科塔里

首先，所有次要闭合！=排除次要（而不是排除次要

次要闭合），否则，您可以为许多密集类图提供许多新的近似和参数化算法。还有什么是非平凡的次要闭合图？例如，最多f（| G |）的树宽图是平凡的还是不平凡的？或密集图类（次要封闭且准有序），琐碎的次要封闭或非琐碎的？您的定义不清楚，读者也无法猜测您的想法（而且正如我在开始时所说的那样，您的某些定义是错误的）。

\subset

$\subset$

— 2013年

我可以告诉你我的意思是一个小封闭图族。

是次要

如果

可获自

删去边缘，删除孤立点或收缩的边。图族是一组无向的未标记图

（通常是无限集）。

是一个小封闭的家庭，如果所有

在

，所有未成年人

也在

。如果一个族不是所有图的集合，则它是不平凡的。树宽的图表

（对于恒定

）是次要封闭但树宽的图表

H

$H$

G

$G$

H

$H$

G

$G$

F

$F$

F

$F$

G

$G$

F

$F$

G

$G$

F

$F$

k

$k$

k

$k$

通常不处于次要关闭状态。这就是我的理解。我当然会误会。

f (| G |)

$f(|G|)$

— 罗宾·科塔里

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作为补充，次要排除图上算法的另一个有用属性是这些图具有小的分隔符。更确切地说，由于

一种线性时间算法，用于在图中排除小数的图形中找到分隔符，Bruce Reed和David R. Wood，算法的ACM Transactions，2009，

$O(n^{2/3})$ $O(n^{3/2} + m)$ $O(n^{1/2})$ 。

分离器适用于动态编程技术，并且许多NP完全问题都显示出具有良好近似率的快速算法，例如，解决方案处于最优方案甚至PTAS的恒定因子之内。 平面图，通常来说，有界属图是尝试解决次要排除图上问题的良好起点。

— 张显之张显之
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不知道分隔符是否有助于计算正确的着色数量？

— Yaroslav Bulatov

1

并非如此，也许Ian提到的论文会有所帮助。结果的扩展在SODA '07的同一作者的“通过压缩分解的近似算法”中。

— 张显治张显之

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$O(1)$

算法图次要理论： Demaine，Hajiaghayi和Kawarabayashi的分解，逼近和着色

本文给出了由罗伯逊和西摩定理保证的排除次要图的某些分解（某种程度上需要解释的复杂度）的算法版本，从而产生了许多改进的近似结果。还请检查其中的参考。

— 伊恩
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谢谢，这真是令人着迷...我在Grohe的“逻辑，图和算法”中找到了更易于理解的分解算法描述

— Yaroslav Bulatov

0

$K_5$ $K_{3,3}$ 次要免费），在平面图的NP-硬度不能得到结论的是，也难以其他自由短轴图。

$H$ $H$

$K_t$ $(t-1)$ $K_t$ $(t-1)$ $t− 2$

— 徐汝培
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