可以用平方根有界不确定性决定图形同构吗？

有界的不确定性将函数与资源有界的确定性图灵机接受的类语言相关联，以形成新的 - 类。此类由一些不确定的图灵机接受的语言组成，它们遵循与用于定义相同的资源范围，但是其中最多可以进行不确定的动作。（我用的，而不是由Kintala和Fischer，和原来的高士，Levy和Mundhenk的符号， $g(n)$ $C$ $g$ $C$ $M$ $C$ $M$ $g(n)$ $n$ 是输入的大小。）

我的问题：

是否有一个恒定，使得图同构是在 $c\ge0$ -吗？ $c\sqrt{n}$ $\mathsf{PTIME}$

（编辑：约书亚·格罗霍（Joshua Grochow）指出，对该问题的肯定答案将意味着一种GI算法比目前已知的具有更好的渐近运行时界限。因此，我很乐意放宽界限，允许不确定的移动。） $o(\sqrt{n}\log n)$

背景

对于每一个固定的恒定， - ，如非确定性移动至多创建配置的多项式数确定性地探索。此外，并通过填充一个可在表现出NP完全语言的手段 - 为每个 $c \ge 0$ $\mathsf{PTIME} = {c\log n}$ $\mathsf{PTIME}$ $c\log n$ $\mathsf{NP} = \cup_c n^c\text{-}\mathsf{PTIME}$ $n^\varepsilon$ $\mathsf{P}$ 。 $\varepsilon > 0$

Kintala和Fischer观察到，确定具有顶点的输入图是否具有 -clique是 -complete ，但是在 $V$ $(|V|/3)$ $\mathsf{NP}$ -。要看到这一点，请丢弃最多具有的顶点邻居。如果剩余顶点太少，则拒绝。否则，其余顶点形成大小为的图形。然后猜一个使用 $O(\sqrt{n})$ $\mathsf{PTIME}$ $|V|/3 - 2$ $\Omega(|V|^2)$ $|V|/3$ 不确定的步骤，并验证它们是否在多项式时间内形成集团。 $|V| = O(\sqrt{n})$

中的稠密图的其他一些语言也在 $L$ $\mathsf{NP}$ -。对于将顶点的子集用作证书且输入图的大小为任何问题，都是这种情况。示例是密集图情况下的“归纳路径”或“三色”的promise版本。其他问题似乎需要更大的证书，例如，定义哈密顿电路的顶点列表似乎需要 $O(\sqrt{n})$ $\mathsf{PTIME}$ $\Omega(|V|^2)$ $\Omega(|V| \log |V|)$ 位。对我而言，尚不清楚是否可以使用一定数量的不确定性，而这种不确定性太小而无法猜测证书来决定此类问题。

鉴于 - 可以包含NP完全性的语言，它看起来那么有趣了问在有界确定性层次可能是比较容易的语言下降。有人可能希望GI（一种似乎不是NP完整的语言）在层次结构中更接近 - 不是 - 。但是，明显的GI证书使用指定地图位，即 $n^\varepsilon$ $\mathsf{P}$ $\log n$ $\mathsf{P}$ $n$ $\mathsf{P}$ $|V|\log |V|$ 。 $\omega(\sqrt{n})$

考虑这个问题的另一种方法：指定顶点集之间的映射是GI的最短证书吗？

编辑：随后，一些进一步的（更正的）评论，以解决约书亚·格罗霍（Joshua Grochow）的评论。

如果证书用途位，可以在多项式时间进行检查，然后蛮力给出了GI服用算法时间。带有证书 $f(n) = \Omega(\log n)$ $poly(n)2^{O(f(n))} = 2^{O(f(n))}$ ，蛮力给出了 $O(\sqrt{n})$ 次，而证书的大小为 $2^{O(\sqrt{n})}$ 产生 $O(\sqrt{n}\log n)$ 时间。Luks的长期上限为 $2^{O(\sqrt{n}\log n)}$ 时间，它介于这两个界限之间，一直到恒定指数。 $2^{O(\sqrt{n\log n})}$

这些考虑表明，可能会有替代地理标志的方法。Luks的方法似乎以其核心为基础，即识别相关组的生成器的子集。因此，不确定性机器可能会猜测该组的一个子集。然后可以对这些子集进行详尽检查，以得出确定性算法。如果可以简洁地指定元素列表，或者是因为关联的组永远不会比图的大小大很多，或者因为所需的生成器的数量总是很小，并且检查每个候选子集不会花费太长时间，那么这可能会产生替代地理标志的方法。

Chandra MR Kintala和Patrick C. Fischer，相对化多项式时间有界计算中的不确定性提炼，SIAM 计算杂志9（1），46–53，1980 . doi：10.1137 / 0209003
Judy Goldsmith，Matthew A. Levy，Martin Mundhenk，有限不确定性，SIGACT新闻27（2），20-29，1996 . doi：10.1145 / 235767.235769
LászlóBabai和Eugene M. Luks，《规范的图形标注》，STOC 1983，171-183。doi：10.1145 / 800061.808746

— 安德拉斯·萨拉蒙（AndrásSalamon）
source

因此，如果以大小为

邻接矩阵形式给出图，这是否意味着我可以对顶点集大小

进行线性数量的不确定性移动。

n^{2}

$n^2$

n

$n$

— John D.

@ user17410：是的，只要任何实例的大小为

，表示形式都不要紧。（如果它们不合理填充到具有尺寸

然后当然结合的平方根就足够了。）

O (| V |^{2})

$O(|V|^2)$

Ω ((| V | \log | V |)^{2})

$\Omega((|V|\log|V|)^2)$

— 安德拉什萨拉蒙

我认为您可能要求的算法要比最著名的算法好。如果我理解，则

算法将产生一个

O (\sqrt{n}) - P T I M E

$O(\sqrt{n})-\mathsf{PTIME}$

确定性算法。当前最著名的确定性算法需要

2^{O (\sqrt{n})}

$2^{O(\sqrt{n})}$

。

2^{O (\sqrt{n} \log^{2} n)}

$2^{O(\sqrt{n} \log^2 n)}$

— Joshua Grochow 2014年

@AndrásSalamon：蛮力=

NOT

n! p o l y (n) \approx 2^{O (n \log n)}

$n!poly(n) \approx 2^{O(n \log n)}$

...另外，我看不到为什么证书大小为

2^{O (\sqrt{n} \log^{2} n)}

$2^{O(\sqrt{n} \log^2 n)}$

导致时间

的蛮力算法

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

而不是

2^{\sqrt{n} \log n}

$2^{\sqrt{n} \log n}$

-您能详细说明吗？也许我在“ PTIME”符号的定义中缺少某些内容？

2^{O (\sqrt{n})}

$2^{O(\sqrt{n})}$

— 约书亚·格罗肖

@ MohammadAl-Turkistany：也许吧，但是我得考虑一下。在Babai算法中，有一点是，一旦色度低于polylog，它就会像以前的最佳算法一样应用有界GI测验，目前尚不清楚是否有人可以将polylog deg GI测验变为有对数界不确定性，或者是否可以继续进行Babai递归以使色度降低到恒定色度。如果以及当我确定了这一点时，我将更新我的答案-如果您对此有意见，我很乐意聊天，但这可能不是解决该问题的合适位置。

— 约书亚·格罗肖

首先，（现在已经在问题陈述中进行了编辑）对您问题的肯定回答将立即改善图同构在最坏情况下的发展水平。对于算法产生一个 $O(\sqrt{n})-\mathsf{PTIME}$ -时间确定性算法，但目前最著名的GI仅 $2^{O(\sqrt{n})}$ $2^{O(\sqrt{n \log n})}$

其次，我目前尚不清楚目前的最佳算法是否实际上是算法，虽然它的第一部分显然是，在某种意义上。该算法首先猜测大小为一组顶点 $O(\sqrt{n \log n})-\mathsf{PTIME}$ 进行个性化设置（Zemlyachenko的把戏-参见此处的英语说明），这可以通过猜测完成 $\sqrt{n/\log n}$ 不确定的位。然而，猜测这些和个体化（在确定性聚时间）后，它适用最知名的有界度同构测试，这需要时间（定理9.1本文），并在其应用于的情况下， $\sqrt{n \log n}$ $n^{O(d /\log d)}$ 。我必须仔细考虑后一种算法是否可以转换为 $d=O(\sqrt{n \log n})$ 算法（似乎是一个有趣的问题...） $O(\sqrt{n \log n})-\mathsf{PTIME}$

— 约书亚·格罗夫（Joshua Grochow）
source

您是否有指向付费面板之外版本的链接？我从未见过Zemlyachenko的把戏或有界度同构测试的实际实现。像NAUTY这样按度对顶点进行分区可以加快处理速度，但是对度相同的顶点，您仍然必须检查AFIK上的所有素数周期排列。

— 乍得·布鲁贝克2014年

@Chad：很遗憾，我不知道这些文章的非付费版本。但是，Zemlyachenko的把戏在实践中很容易实现，并且从根本上降低了程度。对于Zemlyachenko的trick俩的实际实现，我认为唯一的问题是枚举要个体化的顶点集（该集合的大小成指数）与通过有效降低程度获得的任何潜在收益之间的权衡。我不知道它是否实际上是在NAUTY或其他实用的同构算法中实现的。

— Joshua Grochow 2014年

@Chad：顺便说一下，测试素数周期置换仅足以检测非平凡的自同构；它不足以测试同构。例如，如果

是没有非平凡自同构的图，则令

为任何排列-不一定是质数周期。则

与

同构，

是

与

之间唯一的同构。但是，仅通过考虑素数周期就不会检测到这种同构。

G

$G$

π

$\pi$

π (G)

$\pi(G)$

G

$G$

π

$\pi$

G

$G$

π (G)

$\pi(G)$

— Joshua Grochow 2014年

以

的两倍为代价，可以通过将两个图放在邻接矩阵中来使用AUT计算ISO。

n

$n$

— 乍得·布鲁贝克2014年

@Chad：如果您这样做，那么已经有

第2阶的素数周期置换，因此您失去了任何潜在的节省。这与以下事实有关：您描述的简化是从ISO到计算自同构组的生成集。从ISO到仅确定图是否具有非平凡自同构的问题，尚无已知的折时减少。

n!

$n!$

— Joshua Grochow 2014年