图的着色复杂度

假设是着色数为。考虑以下爱丽丝和鲍勃之间的比赛。在每个回合中，爱丽丝选择一个顶点，鲍勃为此顶点用的颜色回答。发现单色边缘后游戏结束。设是两个玩家在最佳玩法下的最大游戏长度（爱丽丝希望尽可能缩短游戏，鲍勃希望尽可能延迟游戏）。例如， $G$ $d = \chi(G)$ $\{1,\ldots,d-1\}$ $X(G)$ $X(K_n) = n$ 和。 $X(C_{2n+1}) = \Theta(\log n)$

这个游戏知名吗？

— Yuval Filmus
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我认为您可能可以将此模型建模为Ehrenfeucht-Fraïssé游戏。

— 泰森·威廉姆斯

它似乎与贪婪图着色算法高度相关，对吧？其中有很多……类似于SAT问题，其中的一个变量在经过一些DPLL遍历后被“强制”……我相信在SAT中也称为“主干”

— vzn

为什么使用d-1？我认为通过图形G和允许的颜色数k来参数化游戏并考虑类似量X（G，k）更为自然。当然，如果k≥χ（G），则Bob获胜，因此在这种情况下，X（G，k）应该定义为∞或n + 1。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）

@Tsuyoshi：

是设计为最大化

的任意选择。在应用我心目中，

没有意义。

k = d - 1

$k = d-1$

X (G)

$X(G)$

k \geq χ (G)

$k \geq \chi(G)$

— Yuval Filmus 2012年

@泰森：实际上，

是游戏的决策树复杂度，在给定

的

着色下，我们想要找到一个违反的边。

X (G)

$X(G)$

d - 1

$d-1$

G

$G$

— Yuval Filmus 2012年

看起来很像

在线为随机图着色而不创建单色子图（RetoSpöhel，TorstenMütze和Thomas Rast）第22届ACM-SIAM离散算法研讨会（SODA '11），PR 137，145-158。

— 阿德里安
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