在多项式时间内可以找到最大的独立集的最大类？

该ISGCI列出了1100类图。对于许多这样的函数，我们知道是否可以在多项式时间内确定独立集。这些有时称为IS简易类。我想编译一个最大的 IS-easy类列表。这些类共同构成了此问题的（已知）易处理性的边界。

由于可以在不影响易处理性的情况下，将无限数量的图添加到任何无限的IS-easy类中，因此有一些限制。让我们将类限制为遗传性的类（在获取归纳子图的情况下封闭，或者等效地，由一组排除的归纳子图定义）。此外，让我们只考虑那些带有简短描述的集合X不含X的族。有可能 是还是易处理的类的无限上升链（如$(P,\text{star}_{1,2,k})$-free和下面由David Eppstein描述的类），但让我们将注意力集中在实际上被证明是IS易用的类上。

这是我所知道的：

• 完美图
• -free$(P,\text{star}_{1,2,5})$
• -free$(K_{3,3}-e, P_5)$
• 梅尼尔
• 几乎二分
• 无椅子
• （无，板球）$P_5$
• -free$(P_5,K_{n,n})$（对于任何固定的）$n$
• -free$(P_5, X_{82}, X_{83})$

是否知道其他此类最大类？

编辑：另请参阅Yaroslav Bulatov提出的与排除的未成年人定义的类有关的相关问题，对于未成年人的图有什么方便呢？并查看世袭阶层的整体属性？对于一个更一般的问题，我之前曾问过有关世袭阶级的问题。

正如Jukka Suomela在评论中指出的那样，未成年人排除案件也很有趣（并且会提出一个有趣的问题），但这不是这里的重点。

为了避免David的示例，最大类也应定义为无X图，其中X中并非每个图都有独立的顶点。

下面的答案中给出的类：

• 无苹果（由StandaŽivný建议）
• （无，房子）$P_5$（由David Eppstein建议）
• （爪）-free$K_2 \cup$（由David Eppstein的建议）

添加了2013-10-09： Martin Vatshelle在回答中提到的Lokshtanov，Vatshelle和Villanger的最新结果取代了一些先前已知的最大类。

尤其是，无是IS易包含的，无P 5，板球，无P 5，K n ，n，无P 5，X 82，X 83，和P 5。，免费）都变得轻松。$P_5$$P_5$$P_5$$K_{n,n}$$P_5$$X_{82}$$X_{83}$$P_5$

这意味着，现在可以将一个禁止的诱导子图最多包含五个顶点的所有遗传图类最终确定为IS-easy或not IS-easy。

不幸的是，证明无图形成IS-easy类的证明似乎不适用于无P 6的图，因此下一个领域是对由单个六顶点图定义的所有遗传图类进行分类。$P_5$$P_6$

我仍然特别是在IS-易类的形式感兴趣的 -免费为一些集合X的图形与无限多的同构类的，但在那里ÿ不含不IS-容易对任何Ÿ ⊂ X。$X$$X$$Y$$Y \subset X$

这个问题已经有点老了，但是ISGCI在这里可以有所帮助。

当启动ISGCI Java应用程序并转到菜单问题->边界/打开类->独立集时，您将看到一个包含3个列表的对话框。

列表“最大P”包含所有C类（在ISGCI中），可以在多项式时间内对IS进行求解，因此，存在一个最小的C超类，其中不知道IS在P中（即NP-完全，开放或ISGCI未知）。选择一个类并单击“绘制”将绘制该类和超类，这些类和超类是通过BFS样式向上遍历包含层次结构找到所需的，以找到在P中不知道IS的类。

列表最小NP完全相反：它包含IS完全是NP的类，因此并非所有最大子类也都是NP完全的。绘图在层次结构中向下移动，直到找到一个非NP完成的类。

打开列表包含问题为未解决或未知的类。绘图遍历父类/子类，直到到达未打开的类。

创建工程图时，最好将颜色设置为独立设置问题（问题->问题的颜色->独立设置）。

关于Standa Zivny的问题，在ISGCI中列出了以下20个类，这些类的未加权IS问题的复杂度已知，但是对于加权情况的复杂度未知（ISGCI无法区分“简单”和“复杂”多项式算法）：

gc_11扩展了P _4-满载
gc_128 EPT
gc_415覆盖
良好的gc_428-不包含K _3,3 -e，P ₅，X ₉₈）
gc_648-不包含K _3,3 -e，P ₅）
gc_752共生集团
-Helly gc_756无（E，P）
gc_757（无P，T ₂）无
gc_758（P，P ₈）无
gc_759（K _3,3 -e，P ₅，X ₉₉）无
gc_808（C ₆，K _{3， 3} + e，P，P ₇，X ₃₇，X ₄₁）
gc_811（P，star_1,2,5）-free
gc_812（P ₅，P ₂ ∪P ₃）-free
gc_813（P，P ₇）-free
gc_818（P，星形_1,2,3）-free
gc_819（P，星_{1， 2,4}
不含）gc_841（2K ₃ + e，A，C ₆，E，K _3,3 -e，P ₆，R，X ₁₆₆，X ₁₆₇，X ₁₆₉，X ₁₇₀，X ₁₇₁，X ₁₇₂， X ₁₈，X ₄₅，X ₅，X ₅₈，X ₈₄，X ₉₅，X₉₈，A，C ₆，E，P ₆，R，X ₁₆₆，X ₁₆₇，X ₁₆₉，X ₁₇₀，X ₁₇₁，X ₁₇₂，X ₁₈，X ₄₅，X ₅，X ₅₈，X ₈₄，X ₉₅， X ₉₈，天线，共同天线，共同多米诺，共同鱼，共同房子，多米诺，鱼，孪生屋）
gc_894无圆弧完美
gc_895强圆完美
（3K ₂，E，P _{2 4} P ₄，净）免费

毫无疑问，这些方法中的许多方法也将具有加权情况下的已知算法。始终欢迎在ISGCI网页上提供的地址进行补充和更正！

有趣的论文可能是：

A. Brandstadt，VV Lozin，R。Mosca：无苹果图中最大权重的独立集合，SIAM离散数学杂志24（1）（2010）239–254。doi：10.1137 / 090750822

苹果的无限类别定义为周期C_k，k> = 5，每个周期都有一个茎。

您没有提及您的IS轻松性概念是否包含加权的IS问题。无椅子图（又名无叉子图）易于IS操作：

VE Alekseev，用于在不使用分叉的图中找到最大独立集的多项式算法，离散应用数学135（1-3）（2004）3–16。doi：10.1016 / S0166-218X（02）00290-1

加权案例的易处理性是不平凡的扩展，请参阅：

VV Lozin，M. Milanic：在无叉子图中找到独立的最大权重集的多项式算法，《离散算法期刊》 6（4）（2008）595–604。doi：10.1016 / j.jda.2008.04.001

是否有其他（有趣的）类别的加权IS问题比未加权的案例更加困难/棘手/开放？

根据Disc的 Vassilis Giakoumakis和Irena Rusu的说法。应用 数学。1997年，无（P5，house）的图表（又名无（P5，coP5）的图表）很简单。

由ISGCI归功于R. Mosca Disc的 V. Lozin 。应用 数学。2005年，是（K2 u爪）无图族。

可能也存在无限个上乘类的上升链

肯定有无限的上升链。如果H是无H的图是IS容易的图的有限组，则让H'为在H中的每个图上添加独立顶点而形成的图。只需将无H算法应用于每个顶点的非邻居集合即可。例如，如ISGCI所述，由于co-gem是P4加独立的顶点，而无P4的图是IS-easy的，所以无co-gem的图很容易。因此，您可能想将问题限制为最大类，其中并非所有禁止的子图都具有独立的顶点。

SODA 2014接受的论文给出了最大权重独立的多项式时间算法 $P_5$免费图表。 http://www.ii.uib.no/~martinv/Papers/ISinP5free.pdf

Let H be a graph on at most 5 vertices, then the complexity of Independent set is known on the class of H-free graphs.

The problem is hard if H contains a cycle or a degree 4 vertex. The only remaining cases of connected H are $P_5$, claw and fork, for these classes the problem is known to be polynomial for disconnected H with no cycles there are only a few possibilities. If H has isolated vertices it is easy to see that IS is polynomial since it is polynomial for all H on 4 vertices without cycles. The case $H = P_2 \cup P_3$ was settled by Lozin and Mosca in 2005.