Questions tagged «graph-classes»

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在多项式时间内可以找到最大的独立集的最大类?
该ISGCI列出了1100类图。对于许多这样的函数,我们知道是否可以在多项式时间内确定独立集。这些有时称为IS简易类。我想编译一个最大的 IS-easy类列表。这些类共同构成了此问题的(已知)易处理性的边界。 由于可以在不影响易处理性的情况下,将无限数量的图添加到任何无限的IS-easy类中,因此有一些限制。让我们将类限制为遗传性的类(在获取归纳子图的情况下封闭,或者等效地,由一组排除的归纳子图定义)。此外,让我们只考虑那些带有简短描述的集合X不含X的族。有可能 是还是易处理的类的无限上升链(如(P,star1,2,k)(P,star1,2,k)(P,\text{star}_{1,2,k})-free和下面由David Eppstein描述的类),但让我们将注意力集中在实际上被证明是IS易用的类上。 这是我所知道的: 完美图 -free(P,star1,2,5)(P,star1,2,5)(P,\text{star}_{1,2,5}) -free(K3,3−e,P5)(K3,3−e,P5)(K_{3,3}-e, P_5) 梅尼尔 几乎二分 无椅子 (无,板球)P5P5P_5 -free(P5,Kn,n)(P5,Kn,n)(P_5,K_{n,n})(对于任何固定的)nnn -free(P5,X82,X83)(P5,X82,X83)(P_5, X_{82}, X_{83}) 是否知道其他此类最大类? 编辑:另请参阅Yaroslav Bulatov提出的与排除的未成年人定义的类有关的相关问题,对于未成年人的图有什么方便呢?并查看世袭阶层的整体属性?对于一个更一般的问题,我之前曾问过有关世袭阶级的问题。 正如Jukka Suomela在评论中指出的那样,未成年人排除案件也很有趣(并且会提出一个有趣的问题),但这不是这里的重点。 为了避免David的示例,最大类也应定义为无X图,其中X中并非每个图都有独立的顶点。 下面的答案中给出的类: 无苹果(由StandaŽivný建议) (无,房子)P5P5P_5(由David Eppstein建议) (爪)-freeK2∪K2∪K_2 \cup(由David Eppstein的建议) 添加了2013-10-09: Martin Vatshelle在回答中提到的Lokshtanov,Vatshelle和Villanger的最新结果取代了一些先前已知的最大类。 尤其是,无是IS易包含的,无P 5,板球,无P 5,K n ,n,无P 5,X 82,X 83,和P 5。,免费)都变得轻松。P5P5P_5P5P5P_5P5P5P_5Kn,nKn,nK_{n,n}P5P5P_5X82X82X_{82}X83X83X_{83}P5P5P_5 这意味着,现在可以将一个禁止的诱导子图最多包含五个顶点的所有遗传图类最终确定为IS-easy或not IS-easy。 不幸的是,证明无图形成IS-easy类的证明似乎不适用于无P 6的图,因此下一个领域是对由单个六顶点图定义的所有遗传图类进行分类。P5P5P_5P6P6P_6 我仍然特别是在IS-易类的形式感兴趣的 -免费为一些集合X的图形与无限多的同构类的,但在那里ÿ不含不IS-容易对任何Ÿ ⊂ …

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是否需要调用
爪是。一个简单的算法将在时间内检测出一个爪子。可以在,其中是快速矩阵乘法的指数,如下所示:对每个顶点取诱导的子图,并在其中找到一个三角形它的补充。 ø (Ñ 4)ø (Ñ ω + 1)ω Ñ [ v ] vK1,3K1,3K_{1,3}O(n4)O(n4)O(n^4)O(nω+1)O(nω+1)O(n^{\omega+1})ωω\omegaN[v]N[v]N[v]vvv 据我所知,这些基本算法只是已知的。Spinrad在他的书“有效的图形表示”中列出了在时间内对爪子的检测作为一个开放问题(8.3,第103页)。对于下限,我们知道 -时间算法将隐含 -时间算法来查找三角形。因此,我们可以将\ Omega(n ^ \ omega)视为下限。o(nω+1)o(nω+1)o(n^{\omega+1})O(nc)O(nc)O(n^c)Ω (Ñ ω)O(nmax(c,2))O(nmax(c,2))O(n^{\max{(c,2)}})Ω(nω)Ω(nω)\Omega(n^\omega) 题: 在这方面有什么进展吗?还是在证明这是不可能的任何进展? O(n ^ {\ omega + 1})时间算法是否还有其他最佳的自然问题?O(nω+1)O(nω+1)O(n^{\omega+1}) 备注: 我明确要求检测爪子,而不是识别无爪图。尽管算法通常可以同时解决这两种情况,但很少有例外。 在算法与理论计算机科学手册中声称可以在线性时间内找到它,但这只是一个错字(请参阅“有效的图形表示”)。

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无(无孔,无孔)图的参考?
无X图是那些不包含来自X的图作为诱导子图的图。甲孔是具有至少4个顶点的循环。一个奇数孔是具有奇数个顶点的孔。一个antihole是孔的补充。 无(奇数孔,无奇数孔)图恰好是理想的图。这就是强完美图定理。可以在多项式时间内在理想图中找到最大的独立集(和最大的集团),但是唯一已知的方法是建立一个半定程序来计算Lovásztheta数。 无(无孔,无防孔)图称为弱弦弦图,它构成许多问题(包括INDEPENDENT SET 和CLIQUE)的简单类。 有谁知道(无孔,无孔)图是否已被研究或写过? 这些图在约束满足问题中很自然地出现,其中相关变量的图形成一棵树。这样的问题相当容易,因此,如果有一种方法可以找到该族图中最大的独立集合 派系而不必计算Lovásztheta ,那将是很好的。 等效地,一个人想要找到无(无孔,奇-反孔)图的最大独立集。张显治在下面指出了为什么与(无孔,无孔)无图相比,这对于独立组是更有趣的一类。

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具有简单哈密顿圈但具有NP硬TSP的图类
的哈密顿环问题(HC)在于找到一个循环,通过在给定的无向图的所有顶点进入。的旅行推销员问题(TSP)在于找到一个循环,通过在给定的边缘加权图的所有顶点进入并最小化由在周期的边缘的权重的总和测量的总距离。HC是TSP的特例,并且都已知是NP完全的[Garey&Johnson]。(请参阅上面的链接,以获取这些问题的更多详细信息和变体。) 是否有研究过的图类可以通过非平凡算法在多项式时间内解决哈密​​顿循环问题,但旅行商问题是NP难的? 不平凡的是要排除诸如可以保证存在哈密顿循环且容易找到的完整图类之类的类,或者排除通常总是保证存在HC的图类之类。

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这个图类有名称吗?
它是通过扩展阈值图来制定的。给定的阈值曲线图其中Ç是这种集团和我在独立组,我的扩展名是如下:每个顶点v ∈ 我可以通过一个新的集团取代ķ v使得顶点ķ v具有v的相同邻居。(C,我)(C,I)(C,I)CCC一世IIv ∈ 我v∈Iv\in IķvKvK_vķvKvK_vvvv 我想应该对此进行研究,但是很难在graphclasses.org中搜索到这种东西。

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“外界类”图是否具有恒定的树宽?
让和通过分别表示ģ ķ该组可以嵌入属的表面上的所有图的使得所有顶点都位于外表面上。例如,是外平面图的集合。中图的树宽可以由的某个函数上限?k∈Nk∈Nk\in\mathbb{N}GkGkG_kG 0 G k kkkkG0G0G_0GkGkG_kkkk 另一个方向显然不成立,因为恒定的树宽甚至都不意味着恒定的属:令为的不相交副本的并集。的树宽是常数,但是其属为。 Ñ ķ 3 ,3 ħ Ñ ÑHnHnH_nnnnK3,3K3,3K_{3,3}HnHnH_nnnn

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将图类命名为:集团与独立集的不相交并集
令 为图,它是集团与独立集合的不相交的并集,即 GGGG =ķñ1个+ķñ2¯¯¯¯¯¯¯¯=ķñ1个+一世ñ2。G=Kn1+Kn2¯=Kn1+In2.G = K_{n_1} + \overline{K_{n_2}} = K_{n_1} + I_{n_2} . 所有此类图的图类的特征在于禁止的诱导子,因此是聚类图和分裂(或阈值)图的交集。高 ={2ķ2,P3}H={2K2,P3}\mathcal{H} = \{2K_2, P_3\} 这个(非常简单的)图类是否有名称?我无法在ISGCI上找到图类 ,并且我所知的有关该主题的论文(例如,编辑简单图和关于集团编辑问题)未按名称引用该类。 这是一个这样的图的图:

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