“外界类”图是否具有恒定的树宽？

让和通过分别表示ģ ķ该组可以嵌入属的表面上的所有图的使得所有顶点都位于外表面上。例如，是外平面图的集合。中图的树宽可以由的某个函数上限？$k\in\mathbb{N}$$G_k$G 0 G k$k$$G_0$$G_k$$k$

另一个方向显然不成立，因为恒定的树宽甚至都不意味着恒定的属：令为的不相交副本的并集。的树宽是常数，但是其属为。 Ñ ķ 3 ，3 ħ Ñ$H_n$$n$$K_{3,3}$$H_n$$n$

是。

在外面的中间添加一个顶点，该顶点连接到外面的所有顶点；这不会改变属，也不会减小树宽。现在，该图具有一个非常浅的广度优先的搜索树，该树根植于新顶点（所有相邻点）。

形成对偶图的生成树，该图的对偶边与广度优先搜索树的边不相交。然后是一组不属于任何一棵树的O（属）边。这些边中的每条边都会在广度优先搜索树中引发一条较短的循环（一个三角形）以及一条路径，沿着这些循环切割表面会产生一个平面（请参见我的论文“拓扑嵌入图的动态生成器”）。也就是说，如果G'是由不是O（genus）切割边的端点的顶点引起的输入图的子图，则G'是平面的，并且其顶点可以被其O（genus）面覆盖。平面嵌入（切割循环将原始外表面切入的面）。

但是在所有顶点都属于k个面的平面图中，可以删除另一O（k）边（这些面的生成树）以获得外平面图。因此，G'的树宽为O（属）。如果以该宽度形成G'的树分解，然后将作为剪切循环边端点的顶点添加到每个包中，则结果是原始输入图的树分解为树宽O（genus）。

看来这一定已经存在于文献中了，但是我不知道在哪里，并且一些快速搜索未能成功找到这种精确结果的明确陈述。但是，在我的另一篇论文中，有一个更笼统的说法：在“小闭合图族的直径和树宽”中，我证明了有界直径的有界图有界树宽。在这种情况下（通过在外表面添加额外的顶点），可以将直径设为最大2。