是否需要调用

爪是。一个简单的算法将在时间内检测出一个爪子。可以在，其中是快速矩阵乘法的指数，如下所示：对每个顶点取诱导的子图，并在其中找到一个三角形它的补充。 $K_{1,3}$ $O(n^4)$ $O(n^{\omega+1})$ $\omega$ $N[v]$ $v$

据我所知，这些基本算法只是已知的。Spinrad在他的书“有效的图形表示”中列出了在时间内对爪子的检测作为一个开放问题（8.3，第103页）。对于下限，我们知道 -时间算法将隐含 -时间算法来查找三角形。因此，我们可以将视为下限。 $o(n^{\omega+1})$ $O(n^c)$ $O(n^{\max{(c,2)}})$ $\Omega(n^\omega)$

题：

在这方面有什么进展吗？还是在证明这是不可能的任何进展？
时间算法是否还有其他最佳的自然问题？ $O(n^{\omega+1})$

备注：

我明确要求检测爪子，而不是识别无爪图。尽管算法通常可以同时解决这两种情况，但很少有例外。
在算法与理论计算机科学手册中声称可以在线性时间内找到它，但这只是一个错字（请参阅“有效的图形表示”）。

graph-theory graph-algorithms graph-classes

— 曹以新
source

可以使用Alon等人的。在发现三角形的方法，为此，在一个最终的每个节点

，其是如果图形不太密集，则比

更好。

O (| E |^{1.41})

$O(|E|^{1.41})$

O (| V | \cdot | E |^{1.41})

$O(|V|\cdot |E|^{1.41})$

| V |^{ω + 1}

$|V|^{\omega+1}$

— RB 2014年

@RB，感谢您指出这一点。基本思想仍然是运行

n

$n$ 次任何三角形检测算法，这是我要避免的事情。

— 曹

我们如何期望找到与三角形查找无关的算法？因为无论采用哪种算法，都应检查每个顶点的邻居。我的意思是，属性是非常局部的属性，除了具有恒定的因子差异之外，每个顶点都应该被看到。（或者我无法想象有任何自然的算法可以避免这种局限性）。你有什么模糊的想法吗？

— 2014年

也许值得一提的是，如果我们可以在f（n）的时间内找到一个爪子，那么我们也可以在f（n + 1）的时间内找到一个三角形（只要取图的补码，再添加一个连接到每个人的顶点），因此我们不希望找到比更好的东西。

n^{ω}

$n^\omega$

— domotorp 2014年

@domotorp，似乎该部分很清楚，反之则不清楚，我的意思是为什么我们需要线性搜索。正如Yixin指出的那样，可能还有另一种算法不使用三角查找算法来解决，我认为很难找到这种算法，而且可能更容易证明任何算法都使用三角查找作为子程序（或可以将其转换为线性搜索）。

o (n^{ω + 1})

$o(n^{\omega +1})$

— 2014年

Answers:

我认为，通过使用矩形矩阵乘法，对于稠密图，我们可以比做得更好。Eisenbrand和Grandoni使用了类似的想法（“论固定参数群和支配集的复杂性”，《理论计算机科学》，第326（2004）57-67页），用于4峰检测。 $O(n^{1+\omega})$

令是我们要检测爪子存在的图形。设为的一组（有序）顶点对。考虑以下布尔矩阵，其大小：每一行是由一些索引，每列是由一些索引，和对应的条目是一个当且仅当，和。考虑的布尔矩阵产品和它的转置。当且仅当存在时，图才具有爪 $G=(V,E)$ $A$ $V$ $M$ $|V|\times |A|$ $u\in V$ $(v,w)\in A$ $\{u,v\}\in E$ $\{v,w\}\in E$ $\{u,w\}\notin E$ $M$ $M^T$ $G$ $\{u,v\}\notin E$ 这样在索引的行和索引的列中的条目为1。 $MM^T$ $u$ $v$

该算法的复杂度本质上是计算矩阵与 ×矩阵的布尔积的复杂度，其中表示图中的顶点数。众所周知，这样的矩阵乘积可以在时间进行计算，这比的时间好于的最上界。当然，如果（推测），则两种方法的复杂度为。 $n\times n^2$ $n^2\times n$ $n$ $O(n^{3.3})$ $O(n^{1+\omega})$ $\omega$ $\omega=2$ $O(n^3)$

— 弗朗索瓦·勒加尔
source

大！这正是我要问的第一个问题：矩阵乘法只有一个调用，尽管更大。在我将第二个问题作为答案之前，我将等待更多评论或答案。

— 曹一欣2014年

我不知道如何避免进行矩阵乘法，但是您可以通过这样一种方式来分析它，即时间实际上是较少数目的时间。这个把戏来自 $n$

吨克洛克斯；Dieter Kratsch；Müller，Haiko（2000），“有效地查找和计算小型诱导子图”，信息处理快报74（3-4）：115-121，doi：10.1016 / S0020-0190（00）00047-8，MR 1761552。

第一个观察结果是，当您要进行矩阵乘法运算时，矩阵并不是真正的，而是，其中是每个顶点的度数，因为您要查找的是一个共三角形在每个顶点附近。 $n\times n$ $d\times d$ $d$

其次，在无爪图中，每个顶点必须具有邻居。因为，否则，该组邻居将具有太少的边，以避免在补码中具有三角形。因此，当您进行矩阵乘法时，只需要在大小为矩阵上进行操作，而不是在。 $O(\sqrt m)$ $O(\sqrt m)$ $n$

另外，每个边仅对两个顶点（其端点）会造成矩阵乘法问题的大小。当这些矩阵乘法问题的总大小的散布到个子问题中，每个子问题的大小为，这给出了，这是对R B提到的界线的稀疏图的一种改进。 $2m$ $O(\sqrt m)$ $O(\sqrt m)$ $O(m^{(1+\omega)/2})$ $O(nm^{\omega/2})$

— 大卫·埃普斯坦
source

哇，这是一个聪明的主意，我在思考是否有可能进行亚线性搜索（实际上是反证），甚至没有考虑问题的内在属性。

— 2014年

谢谢大卫。由于我的第二个问题似乎尚未被注意到，我暂时将其搁置一旁。

— 宜欣曹