具有简单哈密顿圈但具有NP硬TSP的图类

13

的哈密顿环问题（HC）在于找到一个循环，通过在给定的无向图的所有顶点进入。的旅行推销员问题（TSP）在于找到一个循环，通过在给定的边缘加权图的所有顶点进入并最小化由在周期的边缘的权重的总和测量的总距离。HC是TSP的特例，并且都已知是NP完全的[Garey＆Johnson]。（请参阅上面的链接，以获取这些问题的更多详细信息和变体。）

是否有研究过的图类可以通过非平凡算法在多项式时间内解决哈密顿循环问题，但旅行商问题是NP难的？

不平凡的是要排除诸如可以保证存在哈密顿循环且容易找到的完整图类之类的类，或者排除通常总是保证存在HC的图类之类。

— Standa Zivny
source

20

Cograph并不总是哈密顿量，对哈密顿性具有多项式时间检验，并且NP很难解决旅行商问题。

更一般地，哈密顿循环问题可以在有界集团宽度图上的多项式时间内求解（但不是固定参数可处理的）。参见，例如，Fomin等人，“ Clique-width：按一般性的价格”，SODA'09。但是又一次因为这些图族包含完整的图，所以TSP在这些图上很难。

— 大卫·埃普斯坦
source

我对你的最后一句话感到好奇。这是因为TSP巡回赛可以通过使巡回中的所有帮派顶点连续来有效地识别帮派吗？

— Suresh Venkat 2010年

1

不，我的意思是简单地讲，即使在完整的图形中，TSP也很难，并且完整的图形在具有受限集团宽度的图形之中。完整的图本身并不能很好地解决这个问题，因为汉密尔顿性对它们来说是微不足道的，但是集团的超类（例如笔迹）可能具有非平凡但多项式的汉密尔顿性检验。

— David Eppstein 2010年

11

如何完全图？由于TSP始终可以简化为完整图形上的实例（通过在非边之间添加适当的距离），因此在完整图形上求解TSP仍然很困难。但是任何完整的图都是哈密顿量。

— 张显之张显之
source

是的，当然，谢谢！忘了排除完整的图形，就此而言，HC可以轻松解决的所有类别的图形。

— Standa Zivny

3

@Standa Zivny：我不确定您是否要编辑问题，但是如果您要排除“ HC可以简单解决的所有图类”，则应该编辑问题。但是，我怀疑是否可以在可以“轻松解决” HC的情况和可以“轻松解决” HC的情况之间建立区别。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）2010年

@Toshiyoshi Ito：很好，我已经编辑了问题。

— Standa Zivny

@StandaZivny-并非所有对HC无关紧要的图形都很难对TSP进行处理，例如，路径图。

— RB

3

有许多无限类的图具有哈密顿回路。两个特别有趣的类是n立方体和Halin图。考虑Halin图的一种方法是将一棵树至少嵌入3个顶点，并且在平面中没有价数的两个顶点，然后将一个简单的电路穿过该树的1价顶点。

http://en.wikipedia.org/wiki/Halin_graph

这些图已知具有HC，实际上它们要么是全环（所有长度的电路），要么恰好缺少一个必须为偶数长度的电路长度。

— 约瑟夫·马尔科维奇
source