需要多少种不同的颜色来降低图表的选择能力？

如果对于将顶点映射到种颜色的每个函数有一个颜色分配，从而对于所有顶点，，则图是可选择的（也称为 -list- colorable，这样，对于所有边，。 $k$ $k$ $f$ $k$ $c$ $v$ $c(v)\in f(v)$ $vw$ $c(v)\ne c(w)$

现在假设图不是可选择的。也就是说，存在从顶点到颜色的元组的函数，该函数没有有效的颜色分配。我想知道的是，总共需要多少种颜色？可以有多小？是否存在一个数字（与无关），这样可以保证我们找到仅使用不同颜色的不可着色的？ $G$ $k$ $f$ $k$ $c$ $\cup_{v\in G}f(v)$ $N(k)$ $G$ $f$ $N(k)$

与CS的相关性是，如果存在，我们可以在单指数时间内测试常数选择性（只需尝试所有选择，然后对于每个检查，检查它是否可以在时间着色），否则可能需要像这样更快地生长的东西。 $N(k)$ $k$ $k$ $\binom{N(k)}{k}^n$ $f$ $k^n n^{O(1)}$ $n^{kn}$

— 大卫·埃普斯坦
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N（k）> 2k-1时有示例吗？

— Yaroslav Bulatov

我的第一个想法是尝试降低标准示例中二部图可以具有任意高的列表色数的标准颜色数。但是，在此构造中，列表中的颜色数量与达到的

指数关系

k

$k$ 。但是，我没有花足够的时间来证明下界（因此，这还不是答案...）。

— Derrick Stolee 2010年

这可能是值得张贴在MathOverflow这个很好的问题太...

— 弗朗索瓦·G. Dorais

是否设置

k = 1

$k=1$ 推论1.4 在这里回答你的问题的至少一部分？

— 亚伦·斯特林

@Aaron：我不确定你的意思。如果我在那个推论中设置k = 1，似乎是说选择数最多是色数乘以对数因子。但是对于该选择编号需要多少种不同的颜色似乎并没有多说。

— David Eppstein

Answers:

丹尼尔·克拉（DanielKrál）和吉日·斯加尔（JiříSgall）的回答是否定的。从他们的论文摘要：

如果图的顶点可以用任何列表上色，则称其为选择的，适用所有，并且。对于每，我们构造一个图，它是可选择的，但不是可选择的。 $G$ $(k,\ell)$ $L(v)$ $|L(v)| \ge k$ $v\in V(G)$ $|\bigcup_{v\in V(G)} L(v)| \le \ell$ $3 \le k \le \ell$ $G$ $(k,\ell)$ $(k,\ell+1)$

因此，如果，则不存在。Král和Sgall还表明。当然，。 $N(k)$ $k\ge 3$ $N(2)=4$ $N(1)=1$

DanielKrál，JiříSgall：从列表中为其联合的有界尺寸着色。图论学报49（3）：177-186（2005）

— 塞尔·加斯珀斯
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哇。尽管是消极的，但这解决了这个问题。谢谢@Serge！我也希望我也感谢Daniel和Jiří！

— 张显之（张显之）2011年

我也希望对这个问题有一个肯定的答案。

— Serge Gaspers

作为一点不羞耻的自我促进，我和玛特·波南米发现了更多的否定答案。特别地，定理4 http://arxiv.org/abs/1507.03495改善了KRAL”和Sgall的在某些情况下上述的结果。我们使用的示例是完整的二部图，我们在其中使用了极值组合法对其进行了分析。

该工作部分是由于TCS溢出问题引起的。

— J
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