给定一个加权dag，是否有O（V + E）算法用其祖先权重之和替换每个权重？

当然，问题在于重复计算。对于某些类的DAG =树，甚至是串行并行树，这很容易做到。我发现唯一可以在合理的时间内在一般DAG上运行的算法是一种近似算法（摘要扩散），但是提高精度的位数是指数级的（我需要很多位）。

背景：此任务是在BBChop（http://github.com/ealdwulf/bbchop）概率计算中完成的（多次使用不同的“权重”），该程序用于查找间歇性错误（例如，贝叶斯版本的“ git bisect'）。因此，有问题的DAG是修订历史。这意味着边的数量不太可能接近节点数量的平方，对于小于k的节点，它可能小于节点数量的k倍。不幸的是，我没有发现修订版DAG的任何其他有用属性。例如，我希望最大的三连接组件仅随着节点数的平方根增长，但可悲的是（至少在linux内核的历史上）它线性增长。

我们假设顶点权重可以是任意正整数，或更准确地说，它们可以是最多2 ^n的正整数。然后，即使在稍微弱的时间范围O（n ²）中也无法执行当前任务，除非可以在O（n ²）时间中计算任意有向图的传递闭合，其中n表示顶点数。（请注意，传递闭包的O（n ²）-时间算法将是一个突破。）这与以下声明相反：

索赔。如果当前任务可以在时间O（n ²）内执行，则可以在O（n ²）时间内计算作为其邻接矩阵给出的任意有向图的传递闭合（假设有一些合理的计算模型）。

证明。作为预处理，我们在时间O（n ²）中计算给定有向图G的强连接分量分解，以获得DAG G '。注意，如果我们可以计算G ' 的传递闭合，则可以重构G的传递闭合。

现在将权重2 ⁱ分配给DAG G '的每个顶点i，并将算法用于当前问题。然后，分配给每个顶点i的和的二进制表示形式精确地描述了i的祖先集合，换句话说，我们已经计算了G ' 的传递闭包。 QED。

主张的反义也成立：如果您可以计算给定DAG的传递闭包，则可以通过在时间O（n ²）内进行额外的工作来轻松计算所需的总和。因此，从理论上讲，您可以通过使用基于Coppersmith-Winograd矩阵乘法算法的传递闭包算法，在O（n ^2.376）的时间完成当前任务。

编辑：版本2和更早的版本没有明确说明有关顶点权重范围的假设。Per Vognsen在评论中指出，这种隐含假设可能不合理（谢谢！），我同意。即使在应用程序中不需要任意权重，我也认为此答案可能会通过以下推理排除某些方法：“如果这种方法有效，它将给出任意权重的算法，除非该传递是可传递的，否则将被排除在外。可以在时间O（n ²）中计算闭合。”

编辑：版本4和更早的版本错误地说明了边的方向。

这是我对Tsuyoshi的回答的评论的扩展。我认为对这个问题的否定答案可以是无条件的。

在最坏的情况下，即使对于具有O （n ）边的图形，此问题似乎也需要加法运算。因此，似乎不可能达到所需的界限。$\omega(n)$$O(n)$

考虑由网格排列的由r × c个顶点组成的图。r行中的每一行中的顶点都取决于上一行中的两个顶点。该族由这样的图形组成，用于r和c值的适当组合以及边的适当排列。$G_{r,c}$$r \times c$$r$$r$$c$

特别是，令和c = 2 n / log n。另外，让顶行顶点的权重为2的幂。$r = (\log\ n)/2$$c = 2n/\log\ n$

然后，底行中的每个顶点将取决于第一行中的 n个顶点。据我所知，然后存在一个特定的DAG，其每个底行权重具有不同的值，因此，对于这些总和中的每个，平均需要ω（logn）不可重用加法。$\sqrt{n}$$\omega(\log\ n)$

总的来说，这产生了相加数量的下界，而边的数量为2 c （r - 1 ）= O （n ）。$\omega(n)$$2c(r-1) = O(n)$

关键似乎是底层的部分顺序是密集的，但DAG表示其传递减少，可以是稀疏的。

这是错误的，是基于对该问题的误解。 感谢Tsuyoshi耐心指出我的错误。别担心别人犯同样的错误。

如果节点的直接前辈的数量由限制，则首先进行拓扑排序然后按此顺序处理节点的算法将完成这项工作。 建议通过将DAG视为部分订单来衡量直接前辈的数量。具有直接前辈数量有限的模型可能适用于修订历史记录，其中大多数修订只更改了几个文件。$k$

关键是，对于这种特殊情况，每个节点最多需要查看线性顺序的前任，因此可以通过添加O （k | V |）来完成。$k$$O(k|V|)$

该拓扑排序需要的时间，它给你的约束，你正在寻找的渐近。但是在您描述的应用程序中，线性增加的数量很可能占主导地位。$O(|V|+|E|)$

如果某些节点具有许多直接的前任节点（只要它们相对不频繁），则该方法也应能很好地工作。