暗示四色定理的猜想

四色定理（4CT）指出每个平面图都是四个可着色的。[Appel，Haken 1976]和[Robertson，Sanders，Seymour，Thomas 1997]给出了两个证明。这两个证明都是计算机辅助的，非常令人生畏。

图论中有几个推测暗示4CT。解决这些猜想可能需要更好地理解4CT的证明。这是一个这样的猜想：

猜想：令为平面图，令C为一组颜色，而f ：C → C为定点自由对合。让大号= （大号v：v ∈ V （G ^ ））是这样的$G$$C$$f : C \rightarrow C$$L = (L_v : v \in V(G))$

• 针对所有 v ∈ V和$|L_v| \geq 4$$v \in V$
• 如果然后˚F （α ）∈ 大号v对于所有v ∈ V，对于所有的α ∈ Ç。$\alpha \in L_v$$f(\alpha) \in L_v$$v \in V$$\alpha \in C$

然后存在图G的着色。$L$$G$

如果您知道暗示4CT的猜想，请在每个答案中列出一个。我找不到这些猜想的详尽清单。

4CT等效于：

• $[1]$
• $[2]$
• $[3]$
• $[4]$
• $n$$S_n$

• $[6]$

  1. Smorodinsky S. 关于几何超图的色数。
  2. Mabry R. 二部图和四色定理。
  3. Kauffman LH Map着色和矢量叉积。
  4. Cooper BJ等人。寻求四色定理的语言理论证明。
  5. Eliahou S.等。有序置换与四色定理。
  6. Howard L. 四色定理的代数重构。

微软研究剑桥公司的乔治·贡蒂埃（George Gonthier）对4色定理进行了另一项机械验证。与他的证明的不同之处在于，整个定理已通过Coq证明助手进行了陈述和机械验证，而其他证明仅包含用汇编语言和C编写的内核计算，因此存在出错的风险。Gonthier的证明仅在Coq的60,000行中涵盖了计算方面和逻辑方面。

我已经在我的博客上谈到了这一点，我们的见解是：例如，泰特的条件可能会弱化，因为着色的误差最多为o（n）。看到这里：http : //rjlipton.wordpress.com/2009/04/24/the-four-color-theorem/

看看T. Saaty，关于Guthrie的4色猜想“ American Math”的13种彩色变化。月刊，第79页，1972年，第2-43页。

另外，在大卫·巴内特（David Barnette）的《地图着色，多面体和四色问题》（MAA，Dolciani系列，1983年，第8卷）中，给出了许多示例。Barnete的书中一个特别有趣的结果是：如果总是可以截断凸多面体的顶点以生成3价凸多面体，使得每个面的边数是三的倍数，则意味着四色猜想的真相。

该Hadwiger猜想。

在《绝对平面缩影和四色猜想》一文中，Pavol Hell证明了4CT的几种等效公式。其中之一的内容如下：

如果存在绝对平面缩回，则每个平面图都是4色（4CT）。

$H$$G$$G$$r: V(G)\to V(H)$$r(v)=v$$v\in V(H)$

每个无桥立方平面图都是3边可着色的。（由于Tait，这相当于4CT。）

Dror Bar-Natan的论文“李代数和四色定理”（Combinatorica 17-1（1997）43-52，最后更新于1999年10月，arXiv：q-alg / 9606016）包含了一个与李代数等效的引人注目的陈述四色定理。语句中出现的概念也出现在结的有限类型不变量（Vassiliev不变量）和3流形理论中。

本文的命题2.4 http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0012365X9500109A#为4CT提供了另一种表述。

$G$$\Delta(G)$$G$$G$$\Delta(G)$$G$$G$$\Delta(G)$$\Delta(G)$

$G$$K(G)$$G$$K(G)$$G$
$G$$K(G)$

如果您正在寻找更多的见解，则值得一读的是Gonthier对自动证明的高级描述。

Yuri Matiyasevich研究了“四色定理”的几项概率重述，其中涉及到两种颜色相似度概念之间的正相关。他的等价性证明依赖于相关的图多项式，该多项式提供了另一个暗示该定理的猜想的指针。

• Georges Gonthier，形式证明—四色定理，美国数学学会注意事项55（11）1382–1393，2008年。
• Yuri Matiyasevich，“四色猜想的一个概率等效”，Teoriya Veroyatnostei i ee Primeneniya 48 411–416中的论文翻译，2003年。
• Yuri Matiyasevich，“四色猜想的一些概率重述 ”，图论期刊46 167–179，2004年。（预印本）

我只是在Chalopin和Gonçalves（STOC '09）的一篇论文中读到了West的以下猜想：

每个平面图都是仅使用四个方向的平面中线段的相交图。

由于平行线段在这种表示形式中形成一个独立的集合，因此这种推测暗示了4CT，但也许更强。

参考：西方，开放问题。SIAM J离散数学通讯，2（1）：10-12，1991。

甲斯纳克是一个连接的，桥立方图，其不是3-边着色。继Wikipedia之后，概括了4CT 的snark猜想如下：

每个Snark都有一个子图，可以通过细分一些边缘从Petersen图形成。

再次根据维基百科，罗伯逊，桑德斯，西摩和托马斯于2001年宣布了这一猜想的证明。

“最大平面图的面部标记”是我最近发表的旧论文的标题，在该论文中，我将4种最大平面图的着色转换为面部标记的一致性。论文链接为http://www.math.nsysu.edu.tw/~amen/2011/091021-3.pdf

如

LH Kauffman，重新制定地图颜色定理，离散数学302（2005）145–172

指出，归因于G. Spencer-Brown 的原始性原理以及Eliahou-Kryuchkov猜想是FCT的等效表述。

• S. Eliahou，带符号对角线翻转和四色定理，欧洲J. Combin。20（1999）641–646。
• SI Kryuchkov，四色定理和树，IV Kruchatov，原子能研究所，莫斯科，1992年，IAE-5537 / 1。
• G.Spencer-Brown，《形式定律》，《 Gesetze der Form》，布米尔出版社，1997年。

Garry Bowlin和Matthew G. Brin的论文“通过Associahedra中的彩色路径着色平面图”，最新修订于2013年5月12日，arXiv：1301.3984 math.CO在第26页上包含以下猜想：

猜想6.4。对于每对叶子数相同的有限二叉树（D，R），都有一个D的符号分配和一个对D有效的旋转符号w的单词，因此Dw =R。

据指出，从本文先前的命题和定理得出的猜想6.4等同于4CT。

甲ķ -flow上的无向图G ^是通过替换每个边缘中导出的有向图G ^与一圆弧和分配给它的整数-k和ķ，排他性的，使得对于G中每个顶点，所述整数的和分配给指向该顶点的弧的整数等于分配给指向该弧的整数的总和。NWZ（无处为零）k-流是没有为弧分配数字0 的k-流。

对于任何平面图ģ，双的ģ是包含在一个平面嵌入每个面一个顶点的曲线图G ^，并在双股一个边缘上的两个顶点的每条边连接它们，在相应的面ģ共享在它们之间在他们的边界。根据Tutte的流对偶对偶定理，当且仅当对偶是k可着色的，没有峡部的平面图（即，边缘被删除会增加组件的数量）具有NWZ k流。换句话说，当且仅当平面图的对偶具有NWZ 4流时，它才是4色的。

请注意，4CT要求所讨论的平面图不具有环（将任何顶点连接到其自身的边），因为具有环的任何图都不能用任何颜色设置顶点颜色，因为任何具有环的顶点都将与一个顶点相邻。相同颜色的顶点，而不管其颜色如何。

我正在为此：

如果您可以证明矩形地图（由重叠的纸片制成的地图）的定理，那么您也证明了4ct。另外，在搜索中只能考虑具有全部5个或更多边缘的人脸的地图。

有关详细信息，请参见http://4coloring.wordpress.com/。