Questions tagged «graph-theory»

如果是无向正则图并且S是基数\ leq | V | / 2的顶点的子集，则称S的边扩展为数量d 小号≤ | V | / 2G=(V,E)G=(V,E)G=(V,E)dddSSS≤|V|/2≤|V|/2\leq |V|/2SSS ϕ(S):=Edges(S,V−S)d⋅|S|⋅|V−S|ϕ(S):=Edges(S,V−S)d⋅|S|⋅|V−S|\phi(S) := \frac {Edges(S,V-S)}{d\cdot |S|\cdot |V-S|} 其中Edges(A,B)Edges(A,B)Edges(A,B)是AAA一个端点而B中有一个端点的边数BBB。然后将边缘扩展问题是找到一组SSS用|S|≤|V|/2|S|≤|V|/2|S|\leq |V|/2最小化ϕ(S)ϕ(S)\phi(S)。调用ϕ(G)ϕ(G)\phi(G)扩展最佳集合。 边缘扩展问题的频谱划分算法通过找到A的第二大特征值的特征向量xxx（G的邻接矩阵），然后考虑所有形式为\ {v：x {的阈值集S v）在所有阈值t上\ leq t \}。如果让\ lambda_2为矩阵\ frac 1d \ cdot A的第二大特征值，则对频谱划分算法的分析表明，该算法找到的最佳阈值集S_ {SP}满足AAAGGGSSS{v:x(v)≤t}{v:x(v)≤t}\{ v : x(v) \leq t \}tttλ2λ2\lambda_21d⋅A1d⋅A\frac 1d \cdot ASSPSSPS_{SP} ϕ(SSP)≤2ϕ(G)−−−−√ϕ(SSP)≤2ϕ(G)\phi(S_{SP}) \leq 2\sqrt {\phi(G)} 这是从奇格不等式得出的 …

27 ds.algorithms  graph-theory  ho.history-overview  expanders  spectral-graph-theory 

其是指数上一般图一些NP困难问题是上平面图次指数因为树宽为至多并且它们在树宽上是指数的。4.9 | V（G ）|------√4.9|V(G)|4.9 \sqrt{|V(G)|} 基本上，我对NP完全的PLANAR SAT是否有次指数算法感兴趣。 令为变量x i的CNF公式，第 i个子句为c i。ϕϕ\phixixix_iiiicicic_i 的关联图页。5 的φ是在顶点V （G ^ ）= { X 我 } ∪ { Ç 我 } 和边（X 我，Ç 我）当且仅当X 我 ∈ Ç 我或¬ X 我 ∈ Ç 我。GGGϕϕ\phiV(G)={xi}∪{ci}V(G)={xi}∪{ci}V(G)=\{x_i\} \cup \{c_i\}(xi,ci)(xi,ci)(x_i,c_i)xi∈cixi∈cix_i \in c_i¬xi∈ci¬xi∈ci\lnot x_i \in c_i 是在PLANAR SAT，如果发生率曲线是平坦的。ϕϕ\phi 是否有方面对于平面SAT次指数算法？ϕϕ\phi 我不排除将可能性降低SAT转换为平面SAT的可能性，尽管SAT仍然是指数级的，并且由于大小增加而是次指数级的。ϕϕ\phi

26 graph-theory  sat  reductions 

关于图的类，是否具有所有最大独立集都具有相同的基数，因此是最大IS的特性，是否有所了解？ 例如，在平面中获取一组点，并考虑该组点对之间的所有线段之间的交点图。（段->顶点，相交->边）。该图将具有上述属性，因为所有最大IS都对应于原始点集的三角剖分。已知有其他类别的图具有此属性吗？可以轻松测试此属性吗？

26 graph-theory  co.combinatorics 

假设我们通过按以下方式对加权的着色进行计数来缓解对正确的着色进行计数的问题：每种正确的着色的权重为1，每种不正确的着色的权重为，其中c是一些常数，而v是具有相同颜色的端点的边数。当c变为0时，这减少了对正确着色的计数，这对于许多图形来说都是很难的。当c为1时，每种颜色都具有相同的权重，问题很简单。当图的邻接矩阵乘以− log （c ）/ 2时，光谱半径小于1 − ϵcvcvc^vcccvvvccc−log(c)/2−log⁡(c)/2-\log(c)/21−ϵ1−ϵ1-\epsilon，该和可以通过具有收敛保证的信念传播来近似，因此在实践中很容易。从理论上讲也很容易，因为特定的计算树会表现出相关性的衰减，因此允许采用多项式时间算法来保证近似值-Tetali，（2007年） 我的问题是-图形的其他哪些属性使本地算法难以解决此问题？从某种意义上讲，只能解决一小部分的问题。ccc 编辑09/23：到目前为止，针对此类问题，我遇到了两种确定性多项式逼近算法（Weitz的STOC2006论文和Gamarnik的“腔扩展”方法用于近似计数的派生方法），并且这两种方法都取决于自相关的分支因子。避免在图表上走动。光谱半径出现是因为它是此分支因子的上限。问题是-这是一个不错的估计吗？我们是否可以有一系列图，其中自我规避步行的分支因子是有界的，而常规步行的分支因子却是无界的？ 编辑10/06：艾伦·斯莱（FOCS 2010）的这篇论文似乎很有意义……结果表明，自我规避行走的无限树的分支因子正好抓住了计数变得困难的点。 编辑10/31：Alan Sokal猜想（“多元Tutte多项式”的第42 页），在色多项式的无零区域的半径上存在一个上限，该上限在maxmaxflow上呈线性（最大st流在所有对s，t）。这似乎很重要，因为随着正确着色的数量接近0，就会出现远程关联。

26 graph-theory  approximation-algorithms  approximation-hardness  counting-complexity  graph-colouring 

Szemeredi的正则引理说，每个稠密图都可以近似为许多二部展开图的并集。更准确地说，将大多数顶点划分为集，以便大多数对集形成二分展开器（分区中的集数和扩展参数取决于近似参数）：O （1 ）O （1 ）O(1)O(1)O （1 ）O(1)O(1) http://en.wikipedia.org/wiki/Szemer%C3%A9di_regularity_lemma 对于“行为良好”的稀疏图，该引理有多种版本，请参见： http://www.estatistica.br/~yoshi/MSs/FoCM/sparse.pdf http://people.maths.ox.ac.uk/scott/Papers/sparseregularity.pdf 这些公式令我感到惊讶的是，它们仅保证分区中的大多数对形成二部分膨胀器，而这些二部分膨胀器可能为空。因此，在一般的稀疏图中，顶点分区中不同部分之间的所有边很可能不属于扩展器。 我想知道是否存在使零件之间的大多数边缘来自扩展器的公式，或者这种公式是否没有希望。

25 graph-theory  co.combinatorics  expanders 

Robertson和Seymour的结果证明了一种算法，用于测试固定图是否为的次要。关于这个主题，我有两个半问题：Ø （ñ3）Ø（ñ3）O(n^3)GGGHHH 1）此后似乎对该算法进行了改进。目前最著名的算法是什么？ 2a）人们猜想什么是最优界限？ Mohar的固定在表面上的算法ķķk和Kawarabayashi的识别顶点图的算法决定了线性时间内禁止未成年人表征的图的成员资格，这激发了最后一个问题： 2b）是否有任何理由怀疑我们可以在线性时间内做到这一点？ 当然，如果有人已经提出了线性时间算法，那么最后两个问题很愚蠢。:)

25 reference-request  graph-theory  co.combinatorics  graph-algorithms 

通常情况下，先构造一个图，然后询问有关邻接矩阵（或类似Laplacian的一些近亲）的特征值分解（也称为图的光谱）的问题。 但是反向问题呢？给定特征值，可以（有效地）找到具有该光谱的图吗？ñnn 我怀疑总体上这很难做到（可能相当于GI），但是如果您稍微放松一些条件怎么办？如果您使条件不存在多个特征值怎么办？允许具有某个距离度量的“接近”光谱的图怎么样？ 任何参考或想法都将受到欢迎。 编辑： 正如Suresh指出的那样，如果允许带有自循环的无向加权图，那么这个问题就变得微不足道了。我希望能获得关于无向，无权的简单图的答案，但我也对简单的无权有向图感到满意。

25 ds.algorithms  graph-theory  graph-algorithms  spectral-graph-theory 

是否研究了以下问题的复杂性？ 输入：立方（或 -regular）图ģ = （V ，ê ），天然上限吨333G = （V，E）G=(V,E)G=(V,E)Ťtt 问题：是否有划分为| E | / 3份大小3，使得（nonnecessarily连接）对应的子图的阶的总和为至多吨？ËEE| Ë| / 3|E|/3|E|/3333Ťtt 相关工作中， 我在文献中发现了很多论文，这些论文证明了将分区存在到某些包含三个边缘的图形中的必要条件和/或充分条件，这些图形以某种方式相关，而另一些则涉及与图形相交的问题的计算复杂性问题。以上（例如，分区必须产生子图同构或P 4，并且没有权重与一个给定的分区相关联），但它们都没有与上述问题准确处理。ķ1个，3K1,3K_{1,3}P4P4P_4 在此处列出所有这些论文可能会有些乏味，但是其中大多数要么被引用，要么被Dor和Tarsi引用。 20101024：我发现了Goldschmidt等人的这篇论文。，他证明了将图边缘划分为包含AT MOST 边缘的部分的问题，使得诱导子图的阶数之和最多为t，即使k = 3也是NP完全的。当我们要求严格等式wrt k时，问题是否仍然在三次图上保持NP完全？ķkkŤttk = 3k=3k=3ķkk 附加信息 我尝试了一些失败的策略。更准确地说，我发现了一些反例证明： 最大化三角形数量不会导致最佳解决方案；我发现这有点违反直觉，因为三角形是那些在三个边缘上所有可能的图中具有最低顺序的子图。 将图划分为连接的组件也不一定会导致最佳解决方案。它看起来很有希望的原因可能不太明显，但是在许多情况下，人们可以看到交换边缘以连接给定的子图可以得到权重较小的解决方案（例如：尝试在一个三角形上，每个三角形都连接一个附加边）顶点；三角形是一个部分，其余是第二个部分，总重3 + 6 = 9。然后交换两条边给出一条路径和一个星形，总重4 + 4 = 8。）

25 graph-theory  np-hardness  co.combinatorics 

我最近教了扩展器，并介绍了Ramanujan图的概念。迈克尔·福布斯（Michael Forbes）问为什么要这样称呼他们，我不得不承认我不知道。任何人？

25 graph-theory  soft-question  ho.history-overview  expanders 

重建猜想说，图（至少具有三个顶点）是由其顶点删除的子图唯一确定的。这个猜想已有五十年历史了。 通过搜索相关文献，我发现以下几类图是可重构的： 树木 断开的图，补码断开的图 正则图 最大外平面图 最大平面图 外平面图 关键块 没有端点的可分离图 单环图（一个周期的图） 非平凡笛卡尔积图 树木方块 双度图 单位间隔图 阈值图 几乎非循环的图（即，Gv是非循环的） 仙人掌图 顶点删除的图之一是森林的图。 我最近证明了局部2树的一种特殊情况是可重构的。我想知道是否知道部分2树（又称串联图）是可重构的。偏二叉树似乎不属于上述任何类别。 我是否还缺少上面列表中的其他任何已知类的可重构图？ 特别是，是否知道部分2树可重构？

24 reference-request  graph-theory  co.combinatorics  treewidth 

计算二部图中完美匹配的数量可立即减少以计算永久性。由于在非二分图中找到了完美的匹配是在NP中，因此存在从非二分图到永久图的某种归约，但它可能涉及讨厌的多项式爆炸，方法是使用Cook的归约法转换为SAT，然后使用Valiant定理将其归结为常驻。 从非二分图到矩阵其中的有效自然归约对于实际实现通过使用来计算完美匹配是有用的现有的，经过高度优化的库，用于计算永久物。G A = f （G ）烫发（A ）= Φ （G ）FffGGGA = f（G ）A=f(G)A = f(G)烫发（A ）= Φ （G ）perm⁡(A)=Φ(G)\operatorname{perm}(A) = \Phi(G) 更新：我为一个答案添加了赏金，其中包括一个有效计算的函数，该函数可以将任意图带到二等图，该图具有相同的完全匹配数，并且顶点不超过个。H O （n 2）GGGHHHØ （ñ2）O(n2)O(n^2)

24 graph-theory  counting-complexity  reductions  permanent 

如果从H到其自身的任何同态是双射，则图H是核心。如果H是G的核心，并且G从G到H具有同态，则G的子图H是G的核心。http: //en.wikipedia.org/wiki/Core_%28graph_theory%29 给定图G，最能找到其核心的确切算法是什么？

24 ds.algorithms  graph-theory  graph-algorithms 

我正在寻找“好”和“节省空间”的不平衡扩展器。具体来说，二分式左正则图，| A | = n，| B | = 米，与左度d是（ķ ，ε ） -expander如果由于任何小号⊂ 甲至多大小的ķ，不同的邻居的数目小号在乙是至少（1 -G=(A,B,E)G=（一种，乙，Ë）G=(A,B,E)| A | =n|一种|=ñ|A|=n|B|=m|乙|=米|B|=mddd(k,ϵ)（ķ，ϵ）(k,\epsilon)S⊂A小号⊂一种S \subset AkķkSSSB乙B。众所周知，概率方法产生这样的图，其中 d = O （log （n / k ）/ ϵ ）和 m = O （k log （n / k ）/ ϵ 2）。但是，需要 O （n d ）(1−ϵ)d|S|(1−ϵ)d|S|(1-\epsilon)d|S|d=O(log(n/k)/ϵ)d=O(log⁡(n/k)/ϵ)d=O(\log (n/k)/\epsilon)m=O(klog(n/k)/ϵ2)m=O(klog⁡(n/k)/ϵ2)m=O(k \log(n/k)/\epsilon^2)O(nd)O(nd)O(n d)存储此类图的空间。在对图形执行任何操作时，也需要访问此存储，这也可能会增加成本。理想情况下，您需要一个明确的构造。但是，据我所知，已知的构造所达到的参数仍与上述参数相距甚远（至少可以证明如此）。 我的问题是：是否还有其他构造（可能不是显性的）实现与上述边界“更紧密”的边界，但使用的边界空间比少得多？O(nd)O(nd)O(nd) 我正在寻找这三个类别中的任何一个的答案：（a）定理（b）猜想（c）观察和“战争故事”，例如“我们做到了这一点，并且似乎起作用了（某种程度上）”。即，“工业”扩展器可以。我更喜欢（a）（b）和（b）（c），但是乞g不能成为选择者:) 这是类型（c）的示例。取随机线性哈希函数h …

24 graph-theory  derandomization  expanders 

已知测试汉普顿循环是否存在于3正则图中是NP完全的，即使它是平面的（Garey，Johnson，and Tarjan，SIAM J. Comput。1976）或二分的（Akiyama，Nishizeki，和Saito，J. Inform。Proc。1980）或测试哈密顿循环是否存在于4正则图中，即使它是由约旦曲线排列形成的图（Iwamoto and Toussaint，IPL 1994）。 测试k正则图的汉密尔顿性的已知哪个k是NP完全的？ 我感兴趣的特殊情况是6个正则图，另外一个条件是该图的顶点数为奇数。如果可以证明这种情况是NP完全（或多项式）的，则将对http://arxiv.org/abs/1009.0579中描述的图形绘制问题产生影响。“顶点的奇数个”条件是因为我真正想知道的是，对于6正则图，该图是包含哈密顿循环还是二分式2因子？但是具有奇数个顶点消除了二分式2因子的可能性，仅留下了哈密顿循环的可能性。

24 graph-theory  np-hardness  hamiltonian-paths 

众所周知，至少在边缘概率的某些范围内，许多重要的图形参数在随机图形上显示（强）集中度。一些典型示例是色数，最大集团，最大独立集，最大匹配，支配数，固定子图的副本数，直径，最大度数，选择数（列表着色数），Lovasz theta-数，树宽等θθ\theta 问题：哪些例外，即有意义的图形参数不集中在随机图上？ 编辑。 浓度的可能定义是： 令为n个顶点随机图的图参数。我们称它为集中式，如果对于每个\ epsilon> 0，它认为 \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ Pr \ big（（1- \ epsilon）E（X_n）\ leq X_n \ leq（1+ \ epsilon ）E（X_n）\ big）= 1。如果概率以指数速率接近1，则 集中度很高。但是有时会以不同的方式使用“强”，指的是收敛的事实随着间隔的缩小而保持正确，从而产生可能非常狭窄的范围。例如，如果X_n是最小度，则对于边缘概率p的某个范围，可以证明 ñXnXnX_nnnnϵ>0ϵ>0\epsilon>0limn→∞Pr((1−ϵ)E(Xn)≤Xn≤(1+ϵ)E(Xn))=1.limn→∞Pr((1−ϵ)E(Xn)≤Xn≤(1+ϵ)E(Xn))=1.\lim_{n\rightarrow\infty}\Pr\big((1-\epsilon)E(X_n)\leq X_n \leq (1+\epsilon)E(X_n)\big)=1.XnXnX_nppplimn→∞Pr(⌊E(Xn)⌋≤Xn≤⌈E(Xn)⌉)=1limn→∞Pr(⌊E(Xn)⌋≤Xn≤⌈E(Xn)⌉)=1\lim_{n\rightarrow\infty}\Pr\big(\lfloor E(X_n)\rfloor\leq X_n \leq \lceil E(X_n)\rceil\big)=1 ，这是最短的间隔（以度为单位）是整数，但预期值可能不是）。 注意：可以根据集中规则构造人为豁免。例如，如果图的边数为奇数，则令Xn=nXn=nX_n=n，否则为0。这显然不是集中的，但我不会认为它是有意义的参数。

23 graph-theory  pr.probability  random-graphs