什么时候放松辛苦？

假设我们通过按以下方式对加权的着色进行计数来缓解对正确的着色进行计数的问题：每种正确的着色的权重为1，每种不正确的着色的权重为，其中c是一些常数，而v是具有相同颜色的端点的边数。当c变为0时，这减少了对正确着色的计数，这对于许多图形来说都是很难的。当c为1时，每种颜色都具有相同的权重，问题很简单。当图的邻接矩阵乘以− log （c ）/ 2时，光谱半径小于1 − $c^v$$c$$v$$c$$-\log(c)/2$$1-\epsilon$，该和可以通过具有收敛保证的信念传播来近似，因此在实践中很容易。从理论上讲也很容易，因为特定的计算树会表现出相关性的衰减，因此允许采用多项式时间算法来保证近似值-Tetali，（2007年）

我的问题是-图形的其他哪些属性使本地算法难以解决此问题？从某种意义上讲，只能解决一小部分的问题。$c$

编辑09/23：到目前为止，针对此类问题，我遇到了两种确定性多项式逼近算法（Weitz的STOC2006论文和Gamarnik的“腔扩展”方法用于近似计数的派生方法），并且这两种方法都取决于自相关的分支因子。避免在图表上走动。光谱半径出现是因为它是此分支因子的上限。问题是-这是一个不错的估计吗？我们是否可以有一系列图，其中自我规避步行的分支因子是有界的，而常规步行的分支因子却是无界的？

编辑10/06：艾伦·斯莱（FOCS 2010）的这篇论文似乎很有意义……结果表明，自我规避行走的无限树的分支因子正好抓住了计数变得困难的点。

编辑10/31：Alan Sokal猜想（“多元Tutte多项式”的第42 页），在色多项式的无零区域的半径上存在一个上限，该上限在maxmaxflow上呈线性（最大st流在所有对s，t）。这似乎很重要，因为随着正确着色的数量接近0，就会出现远程关联。

对于平面图，至少对于六种颜色或更多，这很难做到。请参阅 Goldberg和Jerrum的“平面图的Tutte多项式的不可逼近”

其他一些评论：

本地计数算法将从一组每个节点的统计信息中计算计数，其中每个统计信息都是该节点的某些图邻域的函数。对于着色，这些统计信息与“遇到颜色c的边际概率”有关。这是针对简单图形的这种减少的示例。

根据Alan Sly的最新论文，使用局部算法对独立集进行计数与使用任何算法对独立集进行计数一样困难。我怀疑这对图形的一般计数是正确的。

对于局部算法，硬度取决于节点之间相对于节点之间距离的行为方式。对于足够大的距离，此关联本质上仅具有两种行为-或者关联在图形距离上呈指数衰减，或者根本不衰减。

如果存在指数衰减，则局部统计量取决于其邻域的大小，该邻域的大小是图形大小的多项式，因此计数问题很容易。

在统计物理模型中，有人指出（即de Gennes，Emery），自我规避的走动，相关衰减和相变之间存在联系。用于自我规避的生成函数在晶格上行走的点变为无限，该点对应于模型中出现远程相关的温度。

您可以从Weitz的自我规避步行树结构中看到为什么自我规避步行会以相关衰减出现-边缘可以精确地表示为自我规避步行树的根，因此如果该树的分支因子为足够小，树的叶子最终变得无关紧要。

如果“局部硬度”表示硬度，则足以量化确定自走步道生长速率的属性。可以从生成函数中提取确切的增长率，以进行自我规避的行走，但是很难计算。光谱半径易于计算，并给出了下界。

一些评论：不是答案。

$c$$c$$c \in [0,\epsilon)$$\epsilon > 0$$c$$c$

$c$

您正在要求图类的结构性质，这将使问题难以解决。据我所知，这几乎总是很难的。但这是非常粗略的，需要更多的工作。