图谱划分的论文

如果是无向正则图并且S是基数\ leq | V | / 2的顶点的子集，则称S的边扩展为数量d 小号≤ | V | /$G=(V,E)$$d$$S$$\leq |V|/2$$S$

$\phi(S) := \frac {Edges(S,V-S)}{d\cdot |S|\cdot |V-S|}$

其中$Edges(A,B)$是$A$一个端点而B中有一个端点的边数$B$。然后将边缘扩展问题是找到一组$S$用$|S|\leq |V|/2$最小化$\phi(S)$。调用$\phi(G)$扩展最佳集合。

边缘扩展问题的频谱划分算法通过找到A的第二大特征值的特征向量$x$（G的邻接矩阵），然后考虑所有形式为\ {v：x {的阈值集S v）在所有阈值t上\ leq t \}。如果让\ lambda_2为矩阵\ frac 1d \ cdot A的第二大特征值，则对频谱划分算法的分析表明，该算法找到的最佳阈值集S_ {SP}满足$A$$G$$S$$\{ v : x(v) \leq t \}$$t$$\lambda_2$$\frac 1d \cdot A$$S_{SP}$

$\phi(S_{SP}) \leq 2\sqrt {\phi(G)}$

这是从奇格不等式得出的

$\phi(S_{SP}) \leq \sqrt{2\cdot (1-\lambda_2)}$

和

$1-\lambda_2 \leq 2 \phi(G)$

提出此类主张的第一篇论文是什么？哪些论文值得赞扬？这是我得到的：

• N. Alon和VD Milman。$\lambda_1$，图和超集中器的等距不等式，《组合理论杂志》，B系列，1985，38（1）：73-88

  以“简单”的Cheeger不等式1- \ lambda_2 \ leq 2 \ phi（G）的精神证明结果$1-\lambda_2 \leq 2\phi(G)$，但适用于顶点扩展而不是边缘扩展。认识到边缘扩展和特征值之间的关系是Cheeger在

  J·切格 拉普拉斯算子的最小特征值的下限。分析中的问题，1970年。

• N.阿隆。特征值和扩展器。组合 6（2）：83-96，1986。

  以艰难的Cheeger不等式的精神证明结果，但是对于顶点扩展而不是边缘扩展，需要用到$\phi(S_{SP}) \leq \sqrt{2\cdot (1-\lambda_2)}$。

• A. Sinclair，M。Jerrum。近似计数，均匀生成并快速混合马尔可夫链。信息与计算82：93-133，1989（会议版本1987）

  如上所述证明Cheeger不等式。（他们的论文研究了时间可逆的马尔可夫链的电导率，在正则图中恰好等于边沿扩展。）他们将这些技术归功于Alon和Milman以及Alon的工作。他们还称赞Aldous在规则图中的混合时间和边缘扩展之间的相关界限。

• M Mihail。马尔可夫链的电导和收敛-扩展器的组合处理。FOCS 1989，第526-531页

  尽管本文的要点是，其技术适用于非时间可逆的马尔可夫链，但将其应用于常规无向图时，它比以前的工作有一个优势：它表明，如果使用任意向量，仍然获得不等式$\phi(S_{SP}) \leq \sqrt{2\cdot (1-\lambda')}$，其中$\lambda'$是向量的瑞利商。Alon，Milman，Sinclair和Jerrum的参数需要实际的特征向量。这与使用近似特征向量的快速频谱划分算法有关。

何时首先认识到上述结果的算法重要性（作为图划分算法）？上述文件没有这样的讨论。

似乎第一篇介绍这组思想的论文（使用图拉普拉斯算子的第二最小特征值来约束图的各种属性）是图论的理论，是捷克斯洛伐克数学中Fiedler的“图的代数连通性”。日志。它出现在1973年，大约与Cheeger的论文（1970年）同时涉及流形。我不确定谁是第一个在这方面观察图和流形之间的相似性的人。有时称为Fiedler号。$\lambda_2$$\lambda_2$

有趣的是，Fiedler论文的末尾有一条评论，指出了由Anderson和Morley撰写的一份独立技术报告，标题为1971年的《拉普拉斯算子的特征值》，该图显然具有相似的想法。但是，安德森（Anderson）和莫利（Morley）的同名论文直到1985年才出现在线性和多线性代数中。

我记得那个时代的一些其他参考资料：

1）Diaconis和Stroock，马尔可夫链特征值的几何界限，《应用概率年鉴》，1991年；但是我记得在1990年的某个时候开始使用预印本。

2）Dodziuk，差分方程，等距不等式和某些随机游走的瞬态，《美国数学学会学报》，1984年。

另外，当时辛克莱和耶鲁姆的重要“算法伴侣”论文是

3）Dyer Frieze Kannan，一种用于估计凸体体积的随机多项式时间算法，STOC89。当然，这里的结果建立在SJ之上。