是否有直接/自然的减少来计算使用永久性的非二分式完美匹配？

计算二部图中完美匹配的数量可立即减少以计算永久性。由于在非二分图中找到了完美的匹配是在NP中，因此存在从非二分图到永久图的某种归约，但它可能涉及讨厌的多项式爆炸，方法是使用Cook的归约法转换为SAT，然后使用Valiant定理将其归结为常驻。

从非二分图到矩阵其中的有效自然归约对于实际实现通过使用来计算完美匹配是有用的现有的，经过高度优化的库，用于计算永久物。 $f$ $G$ $A = f(G)$ $\operatorname{perm}(A) = \Phi(G)$

更新：我为一个答案添加了赏金，其中包括一个有效计算的函数，该函数可以将任意图带到二等图，该图具有相同的完全匹配数，并且顶点不超过个。 $G$ $H$ $O(n^2)$

— 德里克·斯托利
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当前的标题听起来像是一个家庭作业问题，但是实际的问题比这有趣得多。我几乎什至没有打开问题b / c，我以为这是家庭作业，很快就会被关闭，直到我看到它已经有9票赞成并且感到好奇...也许将标题更改为以下内容：是否有直接/自然的减少来计算使用永久性的非二分式完美匹配？”

— Joshua Grochow 2010年

好主意。我什至没有想到。谢谢。

— 德里克·斯托利

Nitpicking：“因为在NP中发现了非二分图中的完美匹配”→“因为在#P中发现了非二分图中的完美匹配”

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）2010年

您的挑剔是正确的，我考虑过写，但是我写的方式暗示减少量适用于库克的THEN Valiant减少量。我正在寻找直接，有效的减少方法。

— Derrick Stolee 2010年

有一种避免使用Cook的简化方法：首先编写一个完美匹配的VNP公式（我可以想到一个与永久变量非常相似且大小为）。然后，通过永久性的普遍性，可以将其写为大小为的矩阵的永久性。这利用了一个事实，即大小为的公式可以写为大小为的矩阵的永久性。比通过Cook更为直接，但仍不如烫发在二分图中完美匹配的方式那样直接/自然。

\leq 4 n^{4}

$\leq 4n^4$

4 n^{4} + 1

$4n^4 +1$

S

$S$

S + 1

$S+1$

— 约书亚·格罗夫

Answers:

我要说，“简单”减少二部匹配的可能性很小。首先，它将提供一种使用匈牙利方法在一般图中找到完美匹配的算法。因此，归约应该包含Edmond开花算法的所有复杂性。其次，它将为紧凑的LP提供完美的匹配多表位，因此，还原不应是对称的（这是Yannakakis的结果所排除的），并且本质上非常复杂。

— 莫希特·辛格（Mohit Singh）
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这些都是很好的理由，说明这种可能性不大。我应该在这个问题上提出反驳。除非有人证明您错了，否则我可能会对此悬赏。

— Derrick Stolee 2010年

尽管这不是我想要的答案，但我发现这是一个非常令人满意的答案。

— Derrick Stolee 2010年

@MohitSingh您能否详细说明“不存在非二分图的匈牙利方法”，“什么包含开花算法的所有复杂性”，以及为什么要给出“紧凑的LP以实现完美匹配，因此应该不对称” ？

— T ....

这显然是评论，而不是答案，但是我在这里还没有任何声誉点，对此感到抱歉。

对于非二分立方无桥图，有成倍的完美匹配，如Lovàsz和Plummer在70年代猜想的那样。本文正在准备中。这可能与您的问题非常相关，或者根本没有。

— 安德鲁·金
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