稀疏图的正则引理

Szemeredi的正则引理说，每个稠密图都可以近似为许多二部展开图的并集。更准确地说，将大多数顶点划分为集，以便大多数对集形成二分展开器（分区中的集数和扩展参数取决于近似参数）： $O(1)$ $O(1)$

http://en.wikipedia.org/wiki/Szemer%C3%A9di_regularity_lemma

对于“行为良好”的稀疏图，该引理有多种版本，请参见：

http://www.estatistica.br/~yoshi/MSs/FoCM/sparse.pdf

http://people.maths.ox.ac.uk/scott/Papers/sparseregularity.pdf

这些公式令我感到惊讶的是，它们仅保证分区中的大多数对形成二部分膨胀器，而这些二部分膨胀器可能为空。因此，在一般的稀疏图中，顶点分区中不同部分之间的所有边很可能不属于扩展器。

我想知道是否存在使零件之间的大多数边缘来自扩展器的公式，或者这种公式是否没有希望。

graph-theory co.combinatorics expanders

— 达娜·莫什科维兹（Dana Moshkovitz）
source

但是，用于密集图的thm在某种程度上会分解为稀疏图，这不是很直观吗？请注意，链接到的Wikipedia ref实际上

— 并未

（1）行为良好的集合对的通常术语是“规则对”（在维基百科中为“伪随机”对）。我用“双向扩展器”代替了它，因为我觉得这种术语对我来说更自然。无论如何，目的是如果您从线对的两侧选择足够大的子集，则子集之间的边数与线对中的边数成正比。（2）当然，对于稠密的图，可能会不再适用于稀疏的图。我的问题恰恰是稠密情况下的属性在稀疏情况下继续保持的程度。

— 丹娜·莫什科维茨

以下是一个冗长的答案，但是在一般情况下，tl; dr表示这样的公式是没有希望的，但是对于许多具有正则性引理的稀疏图的特殊类别，这种公式是存在的。

对于背景，有两种流行的SRL版本。它们是：对于任何固定的和任何节点图，可以将划分为零件，以便... $\varepsilon > 0$ $n$ $G = (V, E)$ $V = V_0 \cup V_1 \cup \dots \cup V_p$ $p = O_{\varepsilon}(1)$

（组合短语）（1）和任何的大小相差（被称为“例外集”），以及（2）除对以外的其余所有部分满足（这里给出了部分之间的密度，即存在的边的分数）。 $|V_0| \le \varepsilon n$ $V_1, \dots, V_p$ $1$ $V_0$ $\varepsilon p^2$ $(V_i, V_j)$
$| d (S, T) - d (V_{i}, V_{j}) | < ε for all S \subseteq V_{i}, T \subseteq V_{j}$ $\left|d(S, T) - d(V_i, V_j)\right| < \varepsilon \text{ for all } S \subseteq V_i, T \subseteq V_j$ $d(\cdot, \cdot)$

（分析措词）让我们有
$d i s c (V_{i}, V_{j}) := max_{S \subseteq V_{i}, T \subseteq V_{j}} | V_{i} | | V_{j} | | d (V_{i}, V_{j}) - d (S, T) |,$ $\mathop{disc}(V_i, V_j) := \max \limits_{S \subseteq V_i, T \subseteq V_j} |V_i||V_j|\left|d(V_i, V_j) - d(S, T)\right|,$ $\sum_{i, j = 0}^{p} d i s c (V_{i}, V_{j}) < ε n^{2} .$ $\sum \limits_{i, j =0}^p \mathop{disc}(V_i, V_j) < \varepsilon n^2.$

“组合短语”（我只是把这些名字叫出来，它们不是标准的）是原始的，可能更出名，而“分析短语”则更现代，并且与图限制有关，等等（我认为它在这里很流行）。在我看来，分析的一种形式是“由二分扩张器的并集近似的图”的正确形式化，因为它可以控制这种近似的总“误差”，并且没有隐藏质量的例外集合。但是，这只是表面上的，因为这两个短语是一个简单但重要的引理。为了从组合学到分析学，只需结合就可以限制不规则部分和例外集的差异。要从“分析”转换为“组合”，只需移动对特殊集合造成太大差异的任何部分，并应用马尔可夫不等式来控制其质量。

现在要稀疏规律。稀疏规则性的目标是将各个不等式中的替换为，其中是存在的所有可能边的分数。至关重要的是，有了此更改，这两个短语不再相等。 相反，“分析”用语更强：它仍然完全像以前一样暗示“组合”，但是“组合”通常并不暗示“分析”，因为（如在OP中所预期的）一个人可能会在例外集合或非规则集合之间隐藏很多密度。对零件。事实上，这种分离是正式的：为密集SRL下界图（比方说，这一个 $\varepsilon$ $\varepsilon d(G)$ $d(G)$ $G$ ）意味着“分析短语”通常不会扩展到稀疏图，但是OP中Scott的论文表明，组合短语实际上确实扩展到了所有无条件的稀疏图。

OP中链接的调查主要讨论的是“上规则”稀疏图的SRL，这大致意味着该图没有比平均密度高一个常数因子的切口。对于这些特定的图，组合和分析用语是等效的，因为在特殊部分中不会隐藏太多额外的质量，因此它们对差异的贡献可以像稠密情况中那样被并入边界。因此，这些图具有“由二分式展开器的并集近似”的解释。

最后，我要提到的是，文献中还有许多其他假设也暗示着这些表述之间的对等。例如，上限规则（在此定义）比上限规则更通用，并且仍然足以表示等价。但是，对于这个图类和其他图类，我只知道相关的弱规律性引理。 $L_p$

— 专线小巴
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另外，对线程坏死的道歉-刚好与我当前的评论相吻合，我想我会分享我的发现。

— GMB