哪些图形参数不集中在随机图形上？

众所周知，至少在边缘概率的某些范围内，许多重要的图形参数在随机图形上显示（强）集中度。一些典型示例是色数，最大集团，最大独立集，最大匹配，支配数，固定子图的副本数，直径，最大度数，选择数（列表着色数），Lovasz theta-数，树宽等$\theta$

问题：哪些例外，即有意义的图形参数不集中在随机图上？

编辑。 浓度的可能定义是：

令为n个顶点随机图的图参数。我们称它为集中式，如果对于每个\ epsilon> 0，它认为 \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ Pr \ big（（1- \ epsilon）E（X_n）\ leq X_n \ leq（1+ \ epsilon ）E（X_n）\ big）= 1。如果概率以指数速率接近1，则 集中度很高。但是有时会以不同的方式使用“强”，指的是收敛的事实随着间隔的缩小而保持正确，从而产生可能非常狭窄的范围。例如，如果X_n是最小度，则对于边缘概率p的某个范围，可以证明 $X_n$$n$$\epsilon>0$

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\Pr\big((1-\epsilon)E(X_n)\leq X_n \leq (1+\epsilon)E(X_n)\big)=1.$$ $X_n$$p$ $$\lim_{n\rightarrow\infty}\Pr\big(\lfloor E(X_n)\rfloor\leq X_n \leq \lceil E(X_n)\rceil\big)=1$$ ，这是最短的间隔（以度为单位）是整数，但预期值可能不是）。

注意：可以根据集中规则构造人为豁免。例如，如果图的边数为奇数，则令$X_n=n$，否则为0。这显然不是集中的，但我不会认为它是有意义的参数。

最大连接成分的许多参数不被浓缩用于如果和更一般地，如果是在关键窗口。示例包括最大组件的直径和大小，第二大组件的大小，组件具有的叶子数等。$G(n,p)$$p=1/n$$p$

见例如

阿尔杜斯，大卫。“布朗漂移，临界随机图和可乘结。” 概率年鉴（1997）：812-854。

Nachmias，Asaf和Yuval Peres。“关键随机图：直径和混合时间。” 概率年鉴36，否。4（2008）：1267-1286。

Addario-Berry，Louigi，Nicolas Broutin和Christina Goldschmidt。“关键随机图的连续极限。” 概率论与相关领域152，第。3-4（2012）：367-406。

某些计数属性（）可能会集中注意力，也许其中很多。$\#\mathsf{P}$

一个简单的例子是生成子图的数量（）。随机图的边数波动因此跨度子图的波动幅度为，与系数相距远在您的浓度定义中使用。 ± Θ （n $2^m$$\pm \Theta(n)$$2^{\Theta(n)}$$(1+\epsilon)$

为了证明这不是一个孤立的例子，这里有一个论点（并不完全严格，但可能能够变得严格）为什么不集中注意力也应该适用于哈密顿循环的数量。这个数字的期望值显然是：（个顶点的循环序列中的每一个都有机会实际上是哈密​​顿循环。用类似的说法，由于引入新的边缘而导致的对该数字的预期变化量将是，比线性因子小。如果哈密顿周期的数量被高度集中，则大多数边缘翻转将导致该数量的变化量接近其预期值。但是然后$(n-1)!/2^{n+1}$$(n-1)!/2$$1/2^n$$(n-2)!/2^{n-1}$$\Theta(n)$ 边沿数量的波动会导致与其期望值成比例的哈密顿循环数量的波动，这与强集中的假设相矛盾。

其他可能无法集中注意力的候选方法包括着色的数量（将顶点划分为独立的集合），匹配或完全匹配的数量或生成树的数量。