节省空间的“工业”不平衡膨胀机

我正在寻找“好”和“节省空间”的不平衡扩展器。具体来说，二分式左正则图，| A | = n，| B | = 米，与左度d是（ķ ，ε ） -expander如果由于任何小号⊂ 甲至多大小的ķ，不同的邻居的数目小号在乙是至少（1 $G=(A,B,E)$$|A|=n$$|B|=m$$d$$(k,\epsilon)$$S \subset A$$k$$S$$B$。众所周知，概率方法产生这样的图，其中 d = O （log （n / k ）/ ϵ ）和 m = O （k log （n / k ）/ ϵ 2）。但是，需要 O （n d $(1-\epsilon)d|S|$$d=O(\log (n/k)/\epsilon)$$m=O(k \log(n/k)/\epsilon^2)$$O(n d)$存储此类图的空间。在对图形执行任何操作时，也需要访问此存储，这也可能会增加成本。理想情况下，您需要一个明确的构造。但是，据我所知，已知的构造所达到的参数仍与上述参数相距甚远（至少可以证明如此）。

我的问题是：是否还有其他构造（可能不是显性的）实现与上述边界“更紧密”的边界，但使用的边界空间比少得多？$O(nd)$

我正在寻找这三个类别中的任何一个的答案：（a）定理（b）猜想（c）观察和“战争故事”，例如“我们做到了这一点，并且似乎起作用了（某种程度上）”。即，“工业”扩展器可以。我更喜欢（a）（b）和（b）（c），但是乞g不能成为选择者:)

这是类型（c）的示例。取随机线性哈希函数h i：[ n ] → [ m ]（mod m），并将每个顶点i连接到h 1（i ）… h d（i ）。我和我的学生对此进行了一些实验，而且效果似乎很好。关于此或相关构造是否有任何定理或猜想？$d$$h_i: [n] \to [m]$$m$$i$$h_1(i) \ldots h_d(i)$

谢谢！

Eickmeyer和Grohe（2010）证明您的候选结构可以明确：采用线性独立的线性哈希函数h 1，… ，h d，并将左顶点v与右顶点h 1（v ），… ，h d（v ）。Eickmeyer和Grohe证明，该结构给出（k ，ϵ ）-扩张器，其左度d = k （t − 1 $d$$h_1,\dots,h_d$$v$$h_1(v),\dots,h_d(v)$$(k,\epsilon)$，每当吨是整数，左顶点组具有尺寸 Ñ = q 吨，右顶点组具有尺寸米= d q，和 q > d是一个主功率。哈希函数 h 1，... ，h d的选择应使它们中的任何 t都线性独立。$d=k(t-1)/(2\epsilon)$$t$$n=q^t$$m=dq$$q>d$$h_1,\dots,h_d$$t$

我认为看看Avi Wigderson的调查/谈话可能会对您的问题有所帮助。以下是近期演讲的幻灯片：扩展器教程，2010年6月。施工始于第40页。

关于空间复杂度，我认为如果指定需要在图形上执行的操作会有所帮助。如果我没记错的话，有些结构允许进行操作，例如在日志空间中计算邻域。