三次图上的边分割问题

是否研究了以下问题的复杂性？

输入：立方（或 -regular）图ģ = （V ，ê ），天然上限$3$$G=(V,E)$$t$

问题：是否有划分为| E | / 3份大小3，使得（nonnecessarily连接）对应的子图的阶的总和为至多吨？$E$$|E|/3$$3$$t$

相关工作中， 我在文献中发现了很多论文，这些论文证明了将分区存在到某些包含三个边缘的图形中的必要条件和/或充分条件，这些图形以某种方式相关，而另一些则涉及与图形相交的问题的计算复杂性问题。以上（例如，分区必须产生子图同构或P 4，并且没有权重与一个给定的分区相关联），但它们都没有与上述问题准确处理。$K_{1,3}$$P_4$

在此处列出所有这些论文可能会有些乏味，但是其中大多数要么被引用，要么被Dor和Tarsi引用。

20101024：我发现了Goldschmidt等人的这篇论文。，他证明了将图边缘划分为包含AT MOST 边缘的部分的问题，使得诱导子图的阶数之和最多为t，即使k = 3也是NP完全的。当我们要求严格等式wrt k时，问题是否仍然在三次图上保持NP完全？$k$$t$$k=3$$k$

附加信息

我尝试了一些失败的策略。更准确地说，我发现了一些反例证明：

• 最大化三角形数量不会导致最佳解决方案；我发现这有点违反直觉，因为三角形是那些在三个边缘上所有可能的图中具有最低顺序的子图。

• 将图划分为连接的组件也不一定会导致最佳解决方案。它看起来很有希望的原因可能不太明显，但是在许多情况下，人们可以看到交换边缘以连接给定的子图可以得到权重较小的解决方案（例如：尝试在一个三角形上，每个三角形都连接一个附加边）顶点；三角形是一个部分，其余是第二个部分，总重3 + 6 = 9。然后交换两条边给出一条路径和一个星形，总重4 + 4 = 8。）

这是关于如何证明它是NP困难的建议。我不知道这行不通。首先，在多图上考虑相同的问题。NP硬度可能更容易证明。尝试从NP近似的三次方最大CUT减小，甚至难以近似（Berman和Karpinski“在一些更严格的不可近似性结果上”）。将每个边分成两个，并在每个新的2度顶点处附加一个具有自环的顶点。您的最大分区对应于最大切割吗？

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这里有更多解释。

（1）通过某种线性函数，在三次图的所有方向上最大化（源数+汇数）的问题与MAXCUT有关。这要求在最大切割与源-汇-最大方向之间显示一些相关性。在一个方向上，在最大切割（U，V）中，我们可以将所有边缘从U定向到V。内部边缘E（U）形成匹配，因此对于E（V）可以任意且类似地定向，并且源和汇的总数是切口大小的线性函数。在另一个方向上，给定源和汇的最大方向，分区U =度数为0或1的顶点，V =度数为2或3的顶点给出了削减。

（2）在上述的边缘对分变换I中，在最佳配置中，每个循环的颜色均与其相邻的边缘相同，并将该边缘的颜色与相邻的其他（非循环）边缘相同。那。因此，每个等分的边都有一种来自其附加环的颜色和另一种颜色。这对应于方向，并且适用（1）。