k正则图的汉密性

已知测试汉普顿循环是否存在于3正则图中是NP完全的，即使它是平面的（Garey，Johnson，and Tarjan，SIAM J. Comput。1976）或二分的（Akiyama，Nishizeki，和Saito，J. Inform。Proc。1980）或测试哈密顿循环是否存在于4正则图中，即使它是由约旦曲线排列形成的图（Iwamoto and Toussaint，IPL 1994）。

测试k正则图的汉密尔顿性的已知哪个k是NP完全的？

我感兴趣的特殊情况是6个正则图，另外一个条件是该图的顶点数为奇数。如果可以证明这种情况是NP完全（或多项式）的，则将对http://arxiv.org/abs/1009.0579中描述的图形绘制问题产生影响。“顶点的奇数个”条件是因为我真正想知道的是，对于6正则图，该图是包含哈密顿循环还是二分式2因子？但是具有奇数个顶点消除了二分式2因子的可能性，仅留下了哈密顿循环的可能性。

第一步，假设图具有偶数个顶点。在第二阶段，我们将扩展构造，以便如果k为偶数，那么我们将展示如何将图变成具有奇数个顶点。

解决方案是对其他答案中提出的想法的改进。

第一部分

要求：给定一个正则图具有偶数个顶点，则可以计算图，它是正则，并且是哈密顿量，而是哈密顿量。ģ ħ （ķ + 1 ）H ^ $k$$G$$H$$(k+1)$$H$$G$

证明：取正则图两个副本，分别称为和。对于顶点，令和为对应的副本。为创建具有个顶点的集团。在此小组中选择两个顶点和，并移除它们之间的边。接下来，将连接到，将连接到。让表示该组件的。ģ ģ 1 ģ 2 v ∈ V （G ^ ）v 1 v 2 ķ + 2 v v ' v $k$$G$$G_1$$G_2$$v \in V(G)$$v_1$$v_2$$k+2$$v$$v'$$v''$$v_1$$v'$$v_2$$v''$$C(v)$$v$

对所有顶点重复此操作，并让表示结果图。$G$$H$

显然，图为正则。我们声称，当且仅当为哈密顿量时，为哈密顿量。$H$$k+1$$H$$G$

一个方向很明确。给定的汉比尔顿周期，我们可以将其转换为的周期。确实，每当循环访问顶点，我们都将其解释为在访问所有顶点时从移动到（反之亦然。这样，这导致了中的哈密顿循环。（请注意，这是我们使用原始顶点数为偶数的事实的原因-如果周期为奇数，则会分解。）$G$$H$$v$$v_1$$v_2$$C(v)$$H$

至于另一个方向，请考虑的哈密顿环。它必须是是由周期的一部分访问，在开始，访问所有的顶点从叶（或对称的选项）。实际上，哈密顿循环不能进入和离开相同的。这样，的哈密顿循环自然解释为的哈密顿循环。QED。$H$$C(v)$$v_1$$C(v)$$v_2$$v_i$$H$$G$

第二部分

如下由Tsuyoshi指出的那样，任何3个正则图的顶点数均为偶数。这样，对于具有偶数个顶点的正则图，该问题很难解决。即，上述减少表明，尽管所得的图具有偶数个顶点，但是对于任何正则图而言，该问题都是困难的。$3$$k$

我们观察到，这意味着以下问题是NP难题的。

问题A：确定具有偶数个顶点的k正则图是否具有经过特定边的哈密顿循环。$G$$e$

但是，如果即使给定一个实例我们也可以将其简化为所需的问题。确实，我们像之前删除团中的一条边，并将其两个端点连接到的端点，并从图中删除一样，用个顶点的团代替了边。显然，对于新图：$k$$(G, e)$$e$$k+1$$e$$e$$H$

• $H$为正则。$k$
• $H$是哈密顿量，而是哈密顿量，其周期为。$G$$e$
• $H$具有个顶点=>顶点数为奇数。$|V(G)| + k+1$$H$

请注意，对于奇数，正则图必须具有偶数个顶点（只需计算边缘）。因此，不存在正数图具有奇数个顶点，其中为奇数。$k$$k$$k$$k$

结果

决定正则图是否具有的哈密顿环是NP-Hard方法。即使图的顶点数为奇数，问题仍然是NP-Hard。$k$$k\geq 3$

当然，我总是有可能犯一些愚蠢的错误...

行使

如果我们想从正则的图转到（比如说）正则的图，那么反复应用上述约简得到的图将导致图的大小与呈指数关系。展，给定一个 -regular图表，和，可以构建的曲线图即 -regular其尺寸为多项式中和，其中是顶点的数的。此外，当且仅当为哈密顿量时，为哈密顿量。$k$$2k$$k$$k$$G$$i >2$$H$$(k+i)$$k,i$$n$$n$$G$$G$$H$

（我将其发布为练习，而不是问题，因为我知道如何解决。）

编辑：正如评论中指出的那样，这种证明是错误的。（我应该删除帖子吗？）

从直觉上来说，如果汉密尔顿度对于k正则图是NP-hard，那么对于（k + 1）-正则图它也应该是NP-hard。这是信封的缩小，对我来说很好，但是当然可能会出错。

令G为k正则图。令G'为G与边的笛卡尔积。换句话说，G'是具有G的两个副本的图，每个顶点都与其副本相连。G'现在是（k + 1）正则，因为每个顶点都有1个额外的边。

声明：当且仅当G'具有哈密顿循环时，G具有哈密顿循环。

证明： 如果G具有哈密顿循环，则很容易看出G'也具有哈密顿循环。说（u，v）是哈密顿循环中的一条边。在不使用该边的情况下从u到v遍历循环，现在不使用该边，而是从v转到v'，其中v'是G副本中与v对应的顶点。现在以相反的顺序遍历该循环在此图中，这将使我们回到u'。现在从u'转到u，这完成了循环。

如果G'具有从顶点u开始的哈密顿循环，则考虑在G上具有相同的遍历序列。每次向同一图形中的相邻顶点进行移动时，我们在G中进行相同的移动。每次进行移动到另一张图中相应的顶点，我们什么也不做。由于每个移动在图G上都是有效的，并且循环在顶点u结束，因此这是哈密顿循环。