Questions tagged «graph-theory»

对于常数，可以在给定输入图线性时间内确定其树宽是否为。但是，当同时给出和作为输入时，问题就很困难。（来源）。 ģk∈Nk∈Nk \in \mathbb{N}GGGķ ģ≤k≤k\leq kkkkGGG 但是，当输入图是平面时，似乎对复杂性知之甚少。这个问题显然是开在2010年，一个声称也出现在本次调查于2007年和分支分解的维基百科页面。相反，在先前提到的调查的较早版本中，该问题被称为NP困难（无参考证据），但我认为这是一个错误。 给定和平面图，确定具有树宽，确定问题的复杂性是否仍然开放？如果是的话，最近的一篇论文是否对此提出了要求？是否知道部分结果？如果不是，谁解决了？ ģ ģ ≤ ķk∈Nk∈Nk \in \mathbb{N}GGGGGG≤k≤k\leq k

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我读了无数的文章，确定图的Cheeger常数是NPNP\mathsf{NP} -hard。这似乎是一个民间定理，但我从未找到此说法的引用或证明。我应该归功于谁？在旧论文中（等图数，J。Comb。Theory B，1989年），Mohar仅证明了“对于具有多个边的图”的主张。

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我试图找出当 并且是一个不依赖于n的常数时，和E [ t w （G ）]到底有多接近。因此）。我的估计是 whp，但我无法证明这一点。吨瓦特（ģ ）tw(G)tw(G)Ë[ t w （G ）]E[tw(G)]E[tw(G)]ç > 1 ë [ 吨瓦特（ģ ）] = Θ （Ñ ）吨瓦特（ģ ）≤ È [ 吨瓦特（ģ ）] + Ö （Ñ ）G∈G(n,p=c/n)G∈G(n,p=c/n)G \in G(n,p=c/n)c>1c>1c>1E[tw(G)]=Θ(n)E[tw(G)]=Θ(n)E[tw(G)] = \Theta(n)tw(G)≤E[ t w （G ）] + o （n ）tw(G)≤E[tw(G)]+o(n)tw(G) \leq E[tw(G)] + o(n)

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给定一组的人，我想坐他们在规模的表，一餐的序列。（当然，每顿饭都有足够的桌子来容纳所有。）我想安排这个，这样就没有人两次与同一个人共享一张桌子。典型值为，和6至10顿饭。SSSkkk|S||S||S||S|=45|S|=45|S|=45k=5k=5k=5 简而言之，我想找到的一系列分区，以使每个分区由基数为的成对不相交子集组成，并增加了全局属性，即两个这样的子集之间的任何交集最多包含一个元素。我怀疑这可以表述为图形理论或组合问题。SSSkkk 我很高兴能更好地解决问题，并指出相关文献的指针，因为这超出了我的领域。 背景：这可用于Schloss Dagstuhl的座位安排，许多计算机科学家在一周之内来讨论他们的研究。目前，座位是随机进行的，不足为奇的是，有人会在一周的时间内两次（或更频繁地）坐在同一个人的座位上。同样也不足为奇的是，我们收到了有关此问题的一些投诉，并提出了模糊的建议以改进此问题。我想更好地理解这一点。对问题的更强有力的表述包括优化彼此相邻的人，但是我认为这与5号表无关。 在应用程序之外，我认为一个有趣的问题是对于给定的和可提供的最大餐食数量，即存在多少这样的分区。SSSkķk

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我们知道，最大独立集（MIS）是困难的因子内近似为任何ε > 0，除非P = NP。有哪些更好的近似算法已知的特殊图类？ñ1 − ϵñ1个-ϵn^{1-\epsilon}ϵ > 0ϵ>0\epsilon > 0 哪些多项式时间算法已知的图是什么？我知道对于完善的图来说，这是众所周知的，但是还有其他有趣的图类吗？

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从CLIQUE到k-Color显然有所减少，因为它们都是NP-Complete。实际上，我可以通过将CLIQUE简化为3-SAT，将3-SAT简化为k-Color来构造一个。我想知道的是，这些问题之间是否有合理的直接减少。说，我可以相当简短地向朋友解释这种简化，而无需描述SAT之类的中间语言。 作为我要寻找的示例，这是一个反向的直接减少：给定G具有nnn和一些kkk（颜色的数量），制作具有k 个knkn顶点（每个顶点每种颜色一个）的图形G' 。当且仅当和（或）时分别与顶点和颜色对应的顶点v 'v′v'，相邻。一个在-clique在每个顶点只有一个顶点，以及相应的颜色是一个适当的ü 'u′u' v ，ü v,uv, uÇ ，d c,dc, dv ≠ ü v≠uv \neq uÇ ≠ d c≠dc \neq dv ù ∉ ģ vu∉Gvu \not \in GÑ nnģ 'G′G' ģ GGķkk颜色。类似地，任何适当的着色在都有一个对应的集团。G GGk kkG GGG 'G′G' 编辑：为了增加一些简短的动机，Karp 最初的21个问题被还原树证明NP-完全，其中CLIQUE和色度数形成主要子树的根。CLIQUE子树和Chromatic Number子树之间的问题之间有一些自然的减少，但是其中许多问题与我要问的一样难以发现。我正在尝试深入研究此树的结构是否在其他问题中显示了某些基础结构，或者这是否完全是首先找到减少量的结果，因为当两个问题之间出现减少量时，搜索它们的动机较少已知属于同一复杂度类别。当然，顺序有一定影响，树的一部分可以重新排列，但是可以任意重新排列吗？ 编辑2：我继续寻找直接归约法，但这是我得到的最接近法的草图（应该是有效的归约法，但是CIRCUIT SAT作为明确的中介；这是否比包括第一段中提到的两次减少）。 给定，我们知道可以是色，带有个顶点，所有有色True iff G有一个k clique。我们命名G v_1，\ ldots，v_n的原始顶点，然后在\ overline …

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在哪里可以找到与现实生活相关的图表？ 我知道的两个存储库是： 佛罗里达大学稀疏矩阵集 博德兰德的TreewidthLib

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给定是一个da。您要通过每个节点可访问的节点数来标记每个节点。是一个微不足道的上限；是一个下限（我认为）。有更好的算法吗？是否有理由相信下界可以改善（相关：对于传递闭包的下界到底有什么了解）？Ω （V + E ）Ø （V（五+ E））O(V(V+E))O(V(V+E))Ω （V+ E）Ω(V+E)\Omega(V+E) 动机：在将fol公式表示为dag时，我不得不做几次。 编辑：请注意，仅执行计算路径，而不是可到达的节点。（我添加此内容是因为显然很多人认为此简单的解决方案可以按我在现已删除的答案中看到的票数起作用。）实际上，当您想对“共享”部分做一些有趣的事情时，这个问题就出现了，节点可以通过一条以上的道路。另外，我说dag，因为如果解决了这些问题，那么解决有向图就很容易。CX= 1 + ∑x → yCÿcx=1+∑x→ycyc_x=1+\sum_{x\to y}c_y

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树的宽度衡量图形与树的接近程度。NP很难计算树的宽度。最著名的近似算法达到因子。O(logn−−−−√)O(logn)O(\sqrt{{\log}n}) Courcelle定理指出，可以在线性时间上，在任何有界树宽图上，在一元二阶逻辑（MSO2）中定义的图的任何属性。最近的一篇论文表明，用“ logspace”代替“ linear time”时，Courcelle定理仍然成立。但是，这不能解决树有界树图上图同构的空间复杂性。最著名的结果将其放入LogCFL。 还有其他问题吗？ 一般图上的NP-hard（或在P中未知），以及 已知在有界树宽的图上可以在线性/多项式时间内求解，并且 不知道在LogSpace中吗？

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（我在两个星期前将这个问题发布到MathOverflow上，但到目前为止还没有严格的答案） 我有一个关于无向简单图的图宽测量的问题。众所周知，cograph（可以通过孤立的顶点开始，通过不相交合并和互补操作建立的图形）的最大集团宽度为2。（Courcelle等人，图的集团宽度的上限）。现在考虑一些固定的非负整数k，并考虑图的类别，使得对于中的每一个都有一个的集合使得k是一个cograph的大多数k顶点。由于图类也可以看作是图的类，可以通过最多添加来从图的集合中构建图GkGk\mathcal{G} _kG=(V,E)∈GkG=(V,E)∈GkG = (V,E) \in \mathcal{G} _kSSSG[V−S]G[V−S]G[V - S]GkGk\mathcal{G} _kkkk顶点，此类也被称为cographs +。kvkvkv 我的问题是：的图的集团宽度有什么紧密关系，即通过删除k个顶点可以将其转化为cograph的图？GkGk\mathcal{G}_k 已知的是，如果一个图从获得ħ删去ķ顶点然后Ç 瓦特（ħ ）≤ 2 ķ（ç 瓦特（ģ ）+ 1 ）。这表明，如果一个cograph可以从曲线图中可以得到删去顶点，然后Ç 瓦特（ħ ）≤ 2 ķ（3 + 1 ），因此图中的cliquewidth ģ ķGGGHHHkkkcw(H)≤2k(cw(G)+1)cw(H)≤2k(cw(G)+1)cw(H) \leq 2^k (cw(G) + 1)GGGHHHkkkcw(H)≤2k(3+1)cw(H)≤2k(3+1)cw(H) \leq 2^k (3 + 1)GkGk\mathcal{G}_k最多。我不确定对k的指数依赖是否必要。在这种情况下，我也将对通过删除一个顶点来最大程度地减小cliquewidth感兴趣；即，如果我们从图形中删除单个顶点，则cliquewidth可以减少多少？4∗2k4∗2k4*2^kkkk

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帖子于8月31日更新：我在原始问题下方添加了当前答案的摘要。感谢所有有趣的答案！当然，每个人都可以继续发布任何新发现。 对于哪些图族，存在用于计算色数的多项式时间算法？χ （G ）χ（G）\chi(G) 当（二部图）时，该问题可以在多项式时间内解决。通常，当，色度数的计算是NP-hard的，但是有许多图谱族并非如此。例如，可以在多项式时间内完成着色周期和完美图形。χ （G ^ ）≥ 3χ （G ）= 2χ（G）=2\chi(G) = 2χ （G ^ ）≥ 3χ（G）≥3\chi(G) \ge 3 同样，对于许多图类，我们可以简单地评估相应的色多项式；Mathworld中的一些示例。 我想以上大部分是常识。我很乐意了解是否还有其他（非平凡的）图族可以在多项式时间内解决最小图着色的问题。 特别是，我对精确和确定性算法感兴趣，但是请随时指出任何有趣的随机算法或近似算法。 更新（8月31日）： 感谢大家提交有趣的答案。这是答案和参考的简短摘要。 完美和几乎完美的图形 几何算法和组合优化（1988），第9章（图形中的稳定集）。Martin Grotschel，Laszlo Lovasz和Alexander Schrijver。 本书的第9章介绍了如何通过最小加权的集团覆盖问题解决着色问题。由于它们依赖于椭球方法，因此这些算法在实践中可能不是很有用。此外，本章还为不同类别的理想图提供了不错的参考清单。 组合优化（2003），第B卷，第六节Alexander Schrijver。 本书分为三章，分别介绍完美图形及其多项式时间可着色性。我只看了一下，但基本方法似乎与上一本书相同。 b完美图的特征（2010）。Chinh T.Hoàng，FrédéricMaffray，Meriem Mechebbek 有界树宽或集团宽度的图 具有固定集团宽度的图上的边缘控制集和着色（2001）。Udi Rotics丹尼尔·科布勒 这里的算法需要以k表达式（用于构造带界线宽度的图的代数公式）作为参数。对于某些图形，此表达式可以线性时间计算。 雅罗斯拉夫（Yaroslav）指出了在有界树宽图中计算颜色的方法。请参阅下面的答案。 这两个研究图形族可以添加或删除个顶点或边。ķķk 顶点着色的参数化复杂度（2003年）。蔡雷珍。 在分割图中添加或删除边（对于固定k个边）时，可以在多项式时间内解决着色。ķķkķķk 弦图上的参数化着色问题（2006年）。丹尼尔·马克思。 对于固定的，可以在多项式时间内为添加了k个边的和弦图着色。ķķkķķk 不包含特定子图的图 确定多项式时间内无P5图的k可着色性（2010年）。ChínhT.Hoàng，MarcinKamínski，Vadim Lozin，Joe …

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我在寻找无向，非加权，连接图，其中，用于每对Ü ，v ∈ V，有一个独特Ü → v了实现的距离路径d （Û ，v ）。G=(V,E)G=(V,E)G=(V,E)u,v∈Vu,v∈Vu,v \in Vu→vu→vu \rightarrow vd(u,v)d(u,v)d(u,v) 这类图是否众所周知？它还有什么其他属性？例如，每棵树都是这种树，每张图都没有偶数周期。但是，有些图包含此类偶数循环。

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考虑一个建模为平面图G的电网，其中每个边缘代表一个1Ω电阻。 我们多快可以计算出G中两个顶点之间的确切有效电阻？ 等效地，如果将1V电池连接到G中的两个顶点，我们将能够多快地计算出沿每个边缘流动的确切电流？ 基尔霍夫（Kirchhoff）著名的电压和电流定律将这个问题简化为求解线性方程组，每个边沿具有一个变量。最近的结果（由Klein和Randić（1993）明确描述，但隐含在Doyle和Snell（1984）的早期工作中）将问题简化为求解一个线性系统，该线性系统的每个顶点具有一个变量，表示该节点的势能。该线性系统的矩阵是图的拉普拉斯矩阵。 是线性系统可以精确地在解决使用嵌套解剖和平面分离器[时间立顿玫瑰的Tarjan 1979 ]。 这是最快的算法吗？Ø （ñ3 / 2）Ø（ñ3/2）O(n^{3/2}) Spielman，Teng等人的最新开创性结果表明，任意图中的Laplacian系统都可以在近似线性时间内求解。有关当前最佳运行时间，请参见[ Koutis Miller Peng 2010 ]，以及Simons Foundation的Erica Klarreich撰写的这篇精彩文章，以提供高层次的概述。但是我对平面图的精确算法特别感兴趣。 假设计算模型支持恒定时间的精确实数运算。

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三次图是每个顶点都具有3度的图。已经对其进行了广泛的研究，我知道几个NP难问题仍然是NP难问题，甚至仅限于三次图的子类，但是其他一些问题变得更容易了。三次图的超类是最大度的图的类。Δ ≤ 3Δ≤3\Delta \leq 3 对于三次图，在多项式时间内是否可以解决任何问题，但是对于最大度图，这是NP-难的？Δ ≤ 3Δ≤3\Delta \leq 3

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在塔防游戏中，您具有一个带有起点，终点和许多墙的NxM网格。 敌人从头到尾都经过最短的路径而没有穿过任何墙壁（它们通常不局限于网格，但为简单起见，假设它们是栅格。在两种情况下，它们都不能穿过对角的“孔”） 问题（至少对于这个问题而言）是放置多达 K个额外的墙，以最大化敌人必须走的路，而不会完全阻碍从终点开始。例如，对于K = 14 我确定这与“ k个最重要的节点”问题相同： 给定一个无向图G =（V，E）和两个节点s，t∈V，k个最重要的节点是k个节点，其删除使从s到t的最短路径最大化。 Khachiyan等人1表明，即使该图未加权和二部图，即使将最大最短路径的长度近似为2也是NP-Hard （给定k，s，t）。 然而，一切并没有丢失：后来，L。Cai等人2表明，对于“二分置换图”，可以使用“相交模型”在伪多项式时间内解决此问题。 我还无法在未加权的网格图上找到任何东西，也无法确定“二分置换图”之间的关系。 是否有任何有关我的问题的研究发表 -也许我正在寻找完全错误的地方？即使是体面的伪多项式逼近算法也能很好地工作。谢谢！ 1 L. Khachiyan，E。Boros，K。Borys，K。Elbassioni，V。Gurvich，G。Rudolf和J. Zhao，“关于短路径拦截问题：完全和节点明智的有限拦截，”计算机系统理论43（ 2008），2004-233。 链接。 2 L. Cai和J. Mark Keil，“在间隔图中找到k个最重要的节点”。 链接。 注意：这个问题是我在此处发现的stackoverflow问题的后续问题。

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