良好的座位安排，可为一群人提供饭菜和k桌子

给定一组的人，我想坐他们在规模的表，一餐的序列。（当然，每顿饭都有足够的桌子来容纳所有。）我想安排这个，这样就没有人两次与同一个人共享一张桌子。典型值为，和6至10顿饭。$S$$k$$|S|$$|S|=45$$k=5$

简而言之，我想找到的一系列分区，以使每个分区由基数为的成对不相交子集组成，并增加了全局属性，即两个这样的子集之间的任何交集最多包含一个元素。我怀疑这可以表述为图形理论或组合问题。$S$$k$

我很高兴能更好地解决问题，并指出相关文献的指针，因为这超出了我的领域。

背景：这可用于Schloss Dagstuhl的座位安排，许多计算机科学家在一周之内来讨论他们的研究。目前，座位是随机进行的，不足为奇的是，有人会在一周的时间内两次（或更频繁地）坐在同一个人的座位上。同样也不足为奇的是，我们收到了有关此问题的一些投诉，并提出了模糊的建议以改进此问题。我想更好地理解这一点。对问题的更强有力的表述包括优化彼此相邻的人，但是我认为这与5号表无关。

在应用程序之外，我认为一个有趣的问题是对于给定的和可提供的最大餐食数量，即存在多少这样的分区。$S$$k$

这是原始答案的变体（如下），提供了所需的设置：5人桌，45人和10顿饭，只是一顿饭有几张4人桌。

令为大小为9的字段。选择4条垂直的简并线 { （b ，x ）| X ∈ ˚F }对于每个b = 0 ，1 ，2 ，3和申报人“空”。我们还有81-9x4 = 45个人。$F$$\{(b,x) | x \in F\}$$b = 0,1,2,3$

9餐由斜率给出。与4条空的简并线的交点将表格大小减小为9-4 = 5。$a = 0,1,\ldots,8$

其余的简并行每b = 4 ，5 ，6 ，7 ，8。这里的表大小为9。但是（在任何解决方案中）我们都可以将大小为9的表分解为大小为5的表和大小为4的表。$\{(b,x) | x \in F\}$$b = 4,5,6,7,8$

如果人数更多，可以使用11号字段。

首先，让我们处理人和k餐。$k^2$$k$

选择一个大小为k的有限域，并识别具有F × F的人。每餐都对应一个斜率，而桌子上平行于该斜率的线。$F$$k$$F \times F$

具体来说，餐有k个表{ （x ，a x + b ）| X ∈ ˚F }为每个b ∈ ˚F。$a$$k$$\{(x,ax+b) | x \in F\}$$b \in F$

您想要的相交属性是这样的事实，即具有不同斜率的直线恰好在一个点处相交。

要处理人，请将他们分成两组，每组k 2，然后将上述构造应用于每组。要处理2 k 2 - k = 45，请在第一组中标记固定的行，例如{ （x ，x ）| X ∈ ˚F }为“空”。您可能有几张桌子，其中k − 1人。$2k^2$$k^2$$2k^2 - k = 45$$\{(x,x)|x\in F\}$$k-1$

对于更多的一餐，例如可以在第六餐开始时分成两组。（假设您交错原始分区，以确保两个组“混合”。）当然，这可能会导致某些交叉。

这是您可以提供的餐点数量（上限）的上限。

$|S| = n$$n$$k$$n/k$

$S$$n/k$$k$$\Theta(nk)$

$n$$\Theta(n^2)$$O(n/k)$

实际上，在这里找到常量并不难，当您进行数学运算时，您得到的正好是的上限。$\frac{n-1}{k-1}$

如果您想让两个人恰好坐在同一张桌子上一次，那么这被称为可解析2设计，并且已经进行了很多研究。当然，如果两个人最多只能见一次面，可以不吃几顿饭来解决您的问题。（但我想可能还有其他解决方案。）

我不确定您是否需要确定性算法，但是我过去使用Markov链Monte Carlo方法解决了类似的问题。

您可以在Github上看到此方法的一个有效示例 -该程序尝试将一组人坐在固定大小的桌子上，给定一组座位约束，可能是正面的也可能是负面的（“必须”或“不得” ），也可以是绝对的或相对的（“首选”）。

注意：该程序不能解决您提出的完全相同的问题，但是确实给出了马尔可夫链蒙特卡罗方法的有效演示，并且它足够接近，您可以根据需要轻松调整它。

该程序可以解决一顿晚餐的问题，但是，在您的情况下，解决该问题的一种简便方法是为每顿晚餐运行一次算法，每次为每个晚餐的先前同伴提供模糊或绝对否定要求。（模糊要求的优点是，即使找不到完美的排列，也可以保证算法在所有输入上都将停止）。

在此过程中，我们将首先尝试根据绝对需求安置每个餐车-您可能要跳过该过程的这一部分，因为它仅在绝对需求数量相对较小时才起作用；否则，您将面临一个难以置信的巨大问题！

在下一步中，我们创建一系列表并将参与者随机分配给表以进行初始配置，并计算出一个分数来表示已满足的模糊要求的数量。用餐者对随机切换，并重新计算这些表的分数，以确定新配置是否可取。

理想情况下，应使用几种初始配置重复此过程的一部分，并且可以轻松地并行计算。

我认为任何有效的座位安排都等同于| S |上的d-正则超图。顶点，其中d是晚餐的数量，排名最高为k，最大码数为1。最简单的解决方案是让每个人总是自己坐下，但我想目标是最大程度地减少桌子数量？