具有用于计算色数的多项式时间算法的图族

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帖子于8月31日更新：我在原始问题下方添加了当前答案的摘要。感谢所有有趣的答案！当然，每个人都可以继续发布任何新发现。

对于哪些图族，存在用于计算色数的多项式时间算法？ $\chi(G)$

当（二部图）时，该问题可以在多项式时间内解决。通常，当，色度数的计算是NP-hard的，但是有许多图谱族并非如此。例如，可以在多项式时间内完成着色周期和完美图形。 $\chi(G) = 2$ $\chi(G) \ge 3$

同样，对于许多图类，我们可以简单地评估相应的色多项式；Mathworld中的一些示例。

我想以上大部分是常识。我很乐意了解是否还有其他（非平凡的）图族可以在多项式时间内解决最小图着色的问题。

特别是，我对精确和确定性算法感兴趣，但是请随时指出任何有趣的随机算法或近似算法。

更新（8月31日）：

感谢大家提交有趣的答案。这是答案和参考的简短摘要。

完美和几乎完美的图形

几何算法和组合优化（1988），第9章（图形中的稳定集）。Martin Grotschel，Laszlo Lovasz和Alexander Schrijver。

本书的第9章介绍了如何通过最小加权的集团覆盖问题解决着色问题。由于它们依赖于椭球方法，因此这些算法在实践中可能不是很有用。此外，本章还为不同类别的理想图提供了不错的参考清单。
组合优化（2003），第B卷，第六节Alexander Schrijver。

本书分为三章，分别介绍完美图形及其多项式时间可着色性。我只看了一下，但基本方法似乎与上一本书相同。
b完美图的特征（2010）。Chinh T.Hoàng，FrédéricMaffray，Meriem Mechebbek

有界树宽或集团宽度的图

具有固定集团宽度的图上的边缘控制集和着色（2001）。Udi Rotics丹尼尔·科布勒

这里的算法需要以k表达式（用于构造带界线宽度的图的代数公式）作为参数。对于某些图形，此表达式可以线性时间计算。
雅罗斯拉夫（Yaroslav）指出了在有界树宽图中计算颜色的方法。请参阅下面的答案。

这两个研究图形族可以添加或删除个顶点或边。 $k$

顶点着色的参数化复杂度（2003年）。蔡雷珍。

在分割图中添加或删除边（对于固定边）时，可以在多项式时间内解决着色。 $k$ $k$
弦图上的参数化着色问题（2006年）。丹尼尔·马克思。

对于固定的，可以在多项式时间内为添加了边的和弦图着色。 $k$ $k$

不包含特定子图的图

确定多项式时间内无P5图的k可着色性（2010年）。ChínhT.Hoàng，MarcinKamínski，Vadim Lozin，Joe Sawada，Xiao Shu。
多项式时间中的三色无AT图（2010）。朱拉·斯塔乔（Juraj Stacho）。

着色四叉树

着色四叉树的算法（1999）。David Eppstein，Marshall W. Bern，Brad Hutchings。

ds.algorithms graph-theory co.combinatorics

— 乔尔·雷比奇（Joel Rybicki）
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1

比较图。这可能是琐碎的家庭之一，但我仍然认为应该提及它们，这就是为什么我使用评论而不是答案的原因。

— Radu GRIGore 2010年

您是说可比较图还是比较图是不同的类？

— 乔尔·里比基（Joel Rybicki）2010年

我的意思是可比性图表，非常完美。

— Radu GRIGore 2010年

请注意，b完美图“接近”接近完美，但事实并非如此，因为它们可能包含5个循环。

— 安德拉斯·萨拉蒙（AndrásSalamon）2010年

您对蔡的论文的链接不正确。

— 杰里米·昆

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如您所见，所有完美的图都可以在多项式时间内着色，但是我认为证明涉及用于线性编程的椭球算法（请参阅Grötschel，Lovász和Schrijver的书），而不是任何直接的和组合的。有许多不同的图类是完美图的子类，并且具有更简单的着色算法；例如，可以使用完美消除顺序对和弦图进行贪婪着色。

当存在着色时，可以在多项式时间内对所有局部连接的图（每个顶点具有连接的邻域的图）进行3色着色：只需将着色三角形逐个三角形扩展即可。

可以在多项式时间内对最大三阶图进行着色：很容易测试它们是否为二分图，如果不是，则它们仅需要三种颜色，或者它们具有K4作为连接分量，并且需要四种颜色（布鲁克定理）。

出于相同的原因，无三角平面图可以在多项式时间内着色：它们最多为3色（Grötzsch定理）。

— 大卫·埃普斯坦
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8

b完美图允许诱导5个循环（不同于完美图），并且由Hoàng，Maffray和Mechebbek展示了具有多项式时间算法进行着色的效果，b完美图的表征，arXiv：1004.5306，2010。

（可惜的是，ISGCI上出色的图形类纲要仅涵盖了集团宽度，独立集和支配性。它不包括有关着色的信息。）

— 安德拉斯·萨拉蒙（AndrásSalamon）
source

关于ISGCI：如果独立设置很容易，则可能表明着色也很容易。因此，浏览ISGCI可能会为进一步谷歌搜索提供一些新思路。

— Jukka Suomela

此外，ISGCI上引用的许多论文的确考虑了着色以及CLIQUE / INDEPENDENT SET。但是有超过1000篇文章涉及涉水...

— 安德拉斯·萨拉蒙（AndrásSalamon）2010年

谢谢。ISGCI看起来很有前途，所以也许我将在那里浏览。

— 乔尔·里比基（Joel Rybicki）2010年

8

同样对于有界集团宽度（比树宽更普遍）的图形：Kobler和Rotics。

$n^{f(k)}$

而且，很难计算集团宽度，但是Oum和Seymour有一种近似算法，“近似集团宽度和分支宽度”（具有指数近似）。

$k$

— 马格努斯·瓦尔斯特伦
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8

具有有界树宽的任何图形族都将具有用于计算色数的多项式时间算法。Gamarnik 将计算颜色的问题减少到计算在同一图形上定义的某些Markov随机字段的边际问题。结果之所以如此，是因为可以使用联结树算法在多项式时间内计算出有界树宽图上MRF的边际。

更新8/26：这是“减少颜色数量” <->减少边距的示例。它需要从正确的着色开始，这可以在最大时间版本的有界树算法的有界树宽图的多项式时间内找到。现在想一想...您真的不需要色数的色号，只需要一种适当的色号即可

— 雅罗斯拉夫·布拉托夫（Yaroslav Bulatov）
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$P_5$ $C_5$ $P_5$

$2P_3$

丹尼尔·马克思（Daniel Marx）也得出了关于图上色数问题的复杂性的结果，该问题最多可以由k个顶点删除来使之成弦。对于每个固定的k，此问题都是多项式（http://dx.doi.org/10.1016/j.tcs.2005.10.008）。

— 巴特·詹森
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谢谢！这些参考文献似乎很有趣（特别是论文“确定多项式中无P5的图的k可着色性）。”

— Joel Rybicki 2010年

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四叉树着色算法。
M. Bern，D。Eppstein和B. Hutchings。
http：// arXiv：cs.CG/9907030。
Algorithmica 32（1）：87-94，2002。

我们考虑了对四叉树的正方形着色的问题的几种变体，这样就不会有两个相邻的正方形被相同地着色。我们给出了简单的线性时间算法，用于边缘邻接的三色平衡四叉树，边缘邻接的四色不平衡四叉树和角邻接的六色平衡或不平衡四叉树。前两种算法使用的颜色数量是最佳的。对于第三种算法，有时可能需要5种颜色。

— Aryabhata
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