确定平面图树宽的计算复杂度是否仍然开放？

对于常数，可以在给定输入图线性时间内确定其树宽是否为。但是，当同时给出和作为输入时，问题就很困难。（来源）。 $k \in \mathbb{N}$ $G$ $\leq k$ $k$ $G$

但是，当输入图是平面时，似乎对复杂性知之甚少。这个问题显然是开在2010年，一个声称也出现在本次调查于2007年和分支分解的维基百科页面。相反，在先前提到的调查的较早版本中，该问题被称为NP困难（无参考证据），但我认为这是一个错误。

给定和平面图，确定具有树宽，确定问题的复杂性是否仍然开放？如果是的话，最近的一篇论文是否对此提出了要求？是否知道部分结果？如果不是，谁解决了？ $k \in \mathbb{N}$ $G$ $G$ $\leq k$

— 3纳米
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有趣的问题，为重新启动调查而欢呼。拿起我的2美分，我相信线性时间证明的原始来源是Bodlaender，但渐近复杂度表示法所隐藏的常数是巨大的。也许您的问题的一个有趣的衍生产品/扩展产品是，在这种情况下，平面约束是否允许一个更实际的常数因子？

— Fasermaler 2015年

我认为这是一个“着名的和古老的问题”，因此，如果您找不到论文，可能仍然是一个悬而未决的问题。其他“证据”：课程图算法，应用和实现的讲座（2015年），课程图和算法：高级主题课程（2014年），算法百科全书（2008年）。

— Marzio De Biasi 2015年

@Sariel：通过使用它和分支宽度彼此在一个常数之内，并且可以在多项式时间内计算平面分支宽度的事实，可以在常数因子（3/2）内将其近似。也可以使用Leighton-Rao在所有图的对数内进行近似计算。参见kintali.wordpress.com/2010/01/28/approximating-treewidth

— David Eppstein

@Fasermaler Bodlaender算法（以及以前的FPT但不是线性时间的算法）的第一步是计算近似的树分解，在此树上可以使用动态编程来找到最佳分解。近似值越紧，第二步越快。因此，使用分支宽度可以找到更紧密的平面树宽近似值这一事实似乎可能导致对参数的更好依赖（以从线性回归到多项式为代价）。但是我不知道有论文对此进行仔细分析。

— David Eppstein 2015年

关于树宽的近似问题。用于查找稀疏/平衡节点分隔符的近似值将给出树宽的近似值。因此，在一般图形中，我们将通过ARV / Feige-Lee-Hajiaghayi和在平面和适当的小封闭家庭中获得。对于一般图形，可以得到，其中是树宽。

α

$\alpha$

O (α)

$O(\alpha)$

O (\sqrt{\log n})

$O(\sqrt{\log n})$

O (1)

$O(1)$

O (\sqrt{\log k})

$O(\sqrt{\log k})$

k

$k$

— Chandra Chekuri 2015年

据我所知，计算平面图树宽的NP完全性仍然是未知的。我知道的最新参考文献是Bodlaender在2012年进行的一项名为“树宽和路径宽度的固定参数可伸缩性” 的调查，该调查出现在Mike Fellows 65岁生日的节日庆典上。该问题在调查结论中列出。

— 巴特·詹森
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谢谢！（并且也感谢@MarzioDeBiasi建议其他参考。）出于好奇，是否有人还偶然知道问题最初是在什么时候提出的？

— a3nm