Cheeger常数

我读了无数的文章，确定图的Cheeger常数是 $\mathsf{NP}$ -hard。这似乎是一个民间定理，但我从未找到此说法的引用或证明。我应该归功于谁？在旧论文中（等图数，J。Comb。Theory B，1989年），Mohar仅证明了“对于具有多个边的图”的主张。

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— Delio M.
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Answers:

$\min_{S \subset V, |S| \leq |V|/2} |\delta(S)|/|S|$ ）。我暂时无法弄清楚他们指的是什么，因为在提到的论文中没有提到边缘扩展。我就此事与Avi Wigderson进行了沟通。最终发现，可以使用Garey等人的论文中所示的Max-Cut硬度来相对容易地表明边缘扩展很难。我现在忘记了细节，但是应该不难重新创建。Blum等人关于检查图形是否为超集中器的硬度的论文并不直接暗示边缘扩展的硬度。从技术上讲，它们不是同一问题。

— 钱德拉·切库里（Chandra Chekuri）
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我的使用边缘扩展硬度的论文是以下onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/net.20165/abstract之一。我们参考Leighton-Rao纸和Garey，Johnson，Stockmeyer的纸，以了解边缘扩展的硬度。

— Chandra Chekuri 2015年

谢谢！因此，从技术上讲，确定Cheeger常数的难度在文献中尚未得到证明吗？

— Delio M.

@DelioM。穆罕默德的答案之一中的Kaibel参考文献提供了完整的证明。只是Garey-Johnson-Stockmeyer从未加权的最大割减到最小二等分的简短证明，在减少所产生的图形中，最稀疏的割是二等分。

— Sasho Nikolov

虽然，我必须承认我迷路了。我一直认为max-cut与特征图的“二分法”特征有关。这如何帮助找到图形的“连接方式”？等效地，无符号拉普拉斯算子的第二最低特征值如何约束拉普拉斯算子的第二最低特征值？下限保持很明显，但是上限？

— Delio M.

@DelioM。首先，通过添加更多个顶点并采用所得图的补码，将最大割减为最小二等分。因此，这种减少关系到一个图与二分图的接近程度与另一个图的连接程度（与第一个图的补码有关）。

n

$n$

— Sasho Nikolov

Kaibel在技术报告中通过减少MAX Cut问题（参见定理2）给出了计算Cheeger常数（或边扩展）的硬度的实际证明。该证明是Garey，Johnson和Stockmeyer在一些简化的NP-完全图问题中给出的等值问题的硬度证明的扩展。 $NP$ $NP$

V. Kaibel：关于0 / 1-多边形图的展开。技术报告arXiv：math.CO/0112146，2001年

编辑：下面的论点是不正确的，正如切库里指出的那样，留给教育目的。

这不是您所要求的参考，但是它说明了硬度结果的民俗状态。

这是CoNP完整性的证明思想，它确定连通的三次方图是否为边扩展，因此确定Cheeger常数是否为CoNP困难。 $h(G)$

所述最小二分问题是 -complete $NP$ 对于连接立方图。在这里，我们要确定是否可以将具有整数的图划分为两个相等大小的部分，以使切割边的数量小于。 $G$ $k$ $k$

请注意，此问题的补充等效于确定图是否为展开图（每个平衡分区的切边都大于）。 $G$ $V$ $k$

PS Arora在这次研讨会上指出，它是难以识别 -expander图（边缘扩展）。 http://www.cs.princeton.edu/~zdvir/apx11slides/arora-slides.pptx $CoNP$ $\alpha$

— 穆罕默德·图尔克斯坦尼
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该证明也不起作用，因为最小二等分的大小并不能说明边缘扩展本身。例如，在个顶点上的断开连接图可以具有最小二等分。

2 n

$2n$

(n - 2)^{2}

$(n-2)^2$

— 萨绍·尼科洛夫

图是连通的三次图，对于此类最小二等分问题是NP完全的。

G

$G$

— Mohammad Al-Turkistany

@SashoNikolov我从未见过有人对断开图的扩展感兴趣。

— Mohammad Al-Turkistany 2015年

阿罗拉，不是奥罗拉。我毫不怀疑确定是coNP很难。但是在两个答案中，您既没有提供带证明的参考，也没有提供证明。断开连接的图只是向您显示您的论点是虚假的。您的“修复”也不起作用。我可以很容易地为您显示一个具有最小二等分且Cheeger常数任意接近零的连通三次方图。这两个问题是相关的，但并不是您建议的琐碎问题。

h (G) \geq α

$h(G) \geq \alpha$

— Sasho Nikolov

@ MohammadAl-Turkistany：拍摄两个相连的无桥三次图，它们是扩展器，一个带有2n个顶点，另一个带有n个顶点，并通过细分3个边在每侧添加大约3个新顶点，将它们与三个边连接。现在，最小二等分将变得很大（），因为您必须切掉较大的扩展器的大部分，但是扩展很小，因为您可以通过仅切割3个边来拆分两个扩展器。

Ω (n)

$\Omega(n)$

— Chandra Chekuri 2015年