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（我在两个星期前将这个问题发布到MathOverflow上，但到目前为止还没有严格的答案）

我有一个关于无向简单图的图宽测量的问题。众所周知，cograph（可以通过孤立的顶点开始，通过不相交合并和互补操作建立的图形）的最大集团宽度为2。（Courcelle等人，图的集团宽度的上限）。现在考虑一些固定的非负整数k，并考虑图的类别，使得对于中的每一个都有一个的集合使得k是一个cograph的大多数k顶点。由于图类也可以看作是图的类，可以通过最多添加来从图的集合中构建图$\mathcal{G} _k$$G = (V,E) \in \mathcal{G} _k$$S$$G[V - S]$$\mathcal{G} _k$$k$顶点，此类也被称为cographs +。$kv$

我的问题是：的图的集团宽度有什么紧密关系，即通过删除k个顶点可以将其转化为cograph的图？$\mathcal{G}_k$

已知的是，如果一个图从获得ħ删去ķ顶点然后Ç 瓦特（ħ ）≤ 2 ķ（ç 瓦特（ģ ）+ 1 ）。这表明，如果一个cograph可以从曲线图中可以得到删去顶点，然后Ç 瓦特（ħ ）≤ 2 ķ（3 + 1 ），因此图中的cliquewidth ģ$G$$H$$k$$cw(H) \leq 2^k (cw(G) + 1)$$G$$H$$k$$cw(H) \leq 2^k (3 + 1)$$\mathcal{G}_k$最多。我不确定对k的指数依赖是否必要。在这种情况下，我也将对通过删除一个顶点来最大程度地减小cliquewidth感兴趣；即，如果我们从图形中删除单个顶点，则cliquewidth可以减少多少？$4*2^k$$k$

尽管我不确定我的答案是否定论，但我将尝试回答您的这个旧问题，但这应该为您指明正确的方向。

首先让我们讨论线性集团宽度。如果图具有线性集团宽度，并且一个图添加1个顶点，则该顶点始终可以以唯一的颜色置于顺序中。因此，添加顶点时，线性集团宽度最多只能增加1。$k$$1$

Gurski和Wanke在“关于NLC宽度与线性NLC宽度之间的关系”中指出，图形具有无限的线性集团宽度。

由于字形具有无界线性集团宽度但有界集团宽度，因此任何良好的集团分解必须具有树结构。我们必须表明，我们可以任意强加许多深分支。现在，我们就像对树木所做的那样，用2 ^ k个叶子构造一个树，并添加k个顶点，每个叶子都连接到新顶点的唯一子集。