Questions tagged «cliquewidth»

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几乎所有字的音高
(我在两个星期前将这个问题发布到MathOverflow上,但到目前为止还没有严格的答案) 我有一个关于无向简单图的图宽测量的问题。众所周知,cograph(可以通过孤立的顶点开始,通过不相交合并和互补操作建立的图形)的最大集团宽度为2。(Courcelle等人,图的集团宽度的上限)。现在考虑一些固定的非负整数k,并考虑图的类别,使得对于中的每一个都有一个的集合使得k是一个cograph的大多数k顶点。由于图类也可以看作是图的类,可以通过最多添加来从图的集合中构建图GkGk\mathcal{G} _kG=(V,E)∈GkG=(V,E)∈GkG = (V,E) \in \mathcal{G} _kSSSG[V−S]G[V−S]G[V - S]GkGk\mathcal{G} _kkkk顶点,此类也被称为cographs +。kvkvkv 我的问题是:的图的集团宽度有什么紧密关系,即通过删除k个顶点可以将其转化为cograph的图?GkGk\mathcal{G}_k 已知的是,如果一个图从获得ħ删去ķ顶点然后Ç 瓦特(ħ )≤ 2 ķ(ç 瓦特(ģ )+ 1 )。这表明,如果一个cograph可以从曲线图中可以得到删去顶点,然后Ç 瓦特(ħ )≤ 2 ķ(3 + 1 ),因此图中的cliquewidth ģ ķGGGHHHkkkcw(H)≤2k(cw(G)+1)cw(H)≤2k(cw(G)+1)cw(H) \leq 2^k (cw(G) + 1)GGGHHHkkkcw(H)≤2k(3+1)cw(H)≤2k(3+1)cw(H) \leq 2^k (3 + 1)GkGk\mathcal{G}_k最多。我不确定对k的指数依赖是否必要。在这种情况下,我也将对通过删除一个顶点来最大程度地减小cliquewidth感兴趣;即,如果我们从图形中删除单个顶点,则cliquewidth可以减少多少?4∗2k4∗2k4*2^kkkk

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具有对数深度的集团宽度表达式
当给出宽度为w的图的树分解时,有几种方法可以使它“很好”。特别地,已知可以将其转换成树分解,其中树是二叉树并且树的高度是O (log n )。这可以在保持分解宽度最大为3 w的同时实现。(例如,参见Bodlaender和Hagerup撰写的“有界树宽的最佳加速并行算法”)。因此,对数深度是树分解的属性,我们几乎可以免费获得。GGGwwwO (对数n )Ø(日志⁡ñ)O(\log n)3 瓦3w3w 我的问题是,对于集团宽度是否存在类似的结果,或者可能是反例。换句话说,给定一个集团宽度表达为使用ķ标签,确实始终存在着高度的集团宽度表达Ö (日志Ñ )为GGGķķkO (对数n )Ø(日志⁡ñ)O(\log n),即至多用途 ˚F (ķ )标签?在此,高度自然定义为集团宽度表达式的分析树的高度。GGGF(k )F(ķ)f(k) 如果不知道与上述类似的语句,则有一个示例,该示例具有小集团宽度k的顶点图G,这样构造带有f (k )标签的G的唯一方法是使用具有深度?ññnGGGķķkGGGF(k )F(ķ)f(k)

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模块化分解和集团宽度
我正在尝试了解有关模块化分解和Clique宽度图的一些概念。 在本文中(“在P4-整洁图上”),有一个证明如何使用模数分解解决诸如团数或色数之类的优化问题。当您知道G1和G2的答案时,通过组成两个图G1,G2来解决这些问题很容易。由于P4整洁图分解时的素数图是有界图(即C5,P5等),因此对于这些“基本情况”很容易求解,然后对构图求解。因此,通过使用分解树,可以在线性时间内解决这些问题。 但似乎该技术可与任何图类一起使用,从而使图素有界。然后我发现了这篇论文《有界集团宽度图上的线性时间可解优化问题》,它似乎使我一直在寻找一般性的东西,但是我不太理解。 我的问题是: 1-等于说分解树的素图是有界的(就像在P4整洁图的情况下一样),而图的属性是“ Clique-Width”? 2-如果1的答案为否,那么:是否存在关于以图素为界的图类的任何结果(例如在P4整洁图中),因此所有这些类的优化问题(如线性时间可求解的集团数)是否存在?


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有基数谓词的有界线宽图上的MSOL优化问题
CMSOL是计数单数二阶逻辑,即图的逻辑,其中域是顶点和边的集合,存在顶点-顶点邻接和边-顶点发生的谓词,对边,顶点,边集和顶点进行量化谓词表示S的大小是否为n模p。Cardn,p(S)Cardn,p(S)\textrm{Card}_{n,p}(S)SSSnnnppp Courcelle著名的定理指出,如果是图形的属性表达在CMSOL,那么对于每个图形摹最多树宽的ķ它可以在无论是线性的时间来决定Π认为,只要树分解摹在输入中给出。该定理的后续版本放弃了对输入进行树分解的要求(因为可以使用Bodlaender的算法进行计算),并且还允许优化而不是仅仅进行决策;即给定一个MSOL公式ϕ (S ),我们还可以计算满足ϕ的最大或最小集SΠΠ\PiGGGkkkΠΠ\PiGGGϕ(S)ϕ(S)\phi(S)SSS。ϕ(S)ϕ(S)\phi(S) 我的问题涉及库尔切勒定理对有界线宽图的适应性。有一个类似的定理说,如果您有一个MSOL1允许对顶点,边,顶点集而不是边集进行量化,则给定图的集团宽度k(具有给定的集团表达式),对于每个固定的k都可以确定在线性时间内图G是否满足一些MSOL1公式ϕ ; 我看到的所有参考都指向GGGkkkkkkGGGϕϕ\phi Courcelle,Makowsky和Rotics 的有界线宽图上的线性时间可解优化问题,计算系统理论,2000年。 我已尝试阅读该论文,但就MSOL1的确切定义而言,它并不完备,坦率地说,它很难阅读。我有两个问题,即如果在输入中给出了集团表达式,那么在FPT中究竟有什么可能最优化,由图形的集团宽度参数化。 MSOL1是否允许谓词测试以模数为模的集合的大小?Cardn,p(S)Cardn,p(S)\textrm{Card}_{n,p}(S) 当给出表达式时,是否有可能在满足cliquewidth 参数的FPT中找到满足MSOL1公式ϕ (S )的最小/最大大小集?SSSϕ(S)ϕ(S)\phi(S) 对于这两个问题,我也想知道要求这些结果时要引用哪些正确的参考文献。提前致谢!
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