具有对数深度的集团宽度表达式

当给出宽度为w的图的树分解时，有几种方法可以使它“很好”。特别地，已知可以将其转换成树分解，其中树是二叉树并且树的高度是O （log n ）。这可以在保持分解宽度最大为3 w的同时实现。（例如，参见Bodlaender和Hagerup撰写的“有界树宽的最佳加速并行算法”）。因此，对数深度是树分解的属性，我们几乎可以免费获得。$G$$w$$O(\log n)$$3w$

我的问题是，对于集团宽度是否存在类似的结果，或者可能是反例。换句话说，给定一个集团宽度表达为使用ķ标签，确实始终存在着高度的集团宽度表达Ö （日志Ñ ）为$G$$k$$O(\log n)$，即至多用途 ˚F （ķ ）标签？在此，高度自然定义为集团宽度表达式的分析树的高度。$G$$f(k)$

如果不知道与上述类似的语句，则有一个示例，该示例具有小集团宽度k的顶点图G，这样构造带有f （k ）标签的G的唯一方法是使用具有深度？$n$$G$$k$$G$$f(k)$

一段时间后，我在文献中找到了答案，因此将其发布在此处，以防对他人有用。

实际上，可以重新平衡集团宽度的表达式，以使它们具有对数深度。结果在Courcelle和Kanté，WG '08的论文“表征行宽和平衡图表达式的图操作”中给出。我从论文中引用定理4.4：

“集团宽度或NLC-宽度的每一个曲线图是集团宽度或NLC-宽度的3平衡集团宽度表达的至多值ķ × 2 ķ + $k$$k \times 2^{k+1}$ ”

这里要注意的是，标签数量在平衡中呈指数级增长。似乎对于集团宽度，目前尚无更好的结果。同一篇论文给出了类似的结果，只是对rankwidth进行了持续放大，但这没有帮助，因为在最坏的情况下，集团宽度和rankwidth之间的差异可能是指数级的。